[La siguiente es la palabra que se derramó de mi cabeza cuando decidí responder rápidamente a esta pregunta antes de cenar muy tarde. No está particularmente bien organizado ni nada, así que adelante y haga preguntas sobre cualquier cosa que haya dejado o no haya aclarado. Tiendo a pensar que es más fácil de aprender y más fácil de enseñar a través del diálogo que a través de la lectura.]
Estos no son axiomas para la lógica de primer orden, si eso es lo que quieres decir. Son axiomas de primer orden (es decir, axiomas en el lenguaje de la lógica de primer orden) que definen varias teorías de conjuntos.
ZF es una teoría que habla solo de objetos llamados “conjuntos”, mientras que NBG y MK hablan de ambos objetos llamados “conjuntos” y objetos llamados “clases”. Tanto los conjuntos como las clases son solo colecciones de conjuntos; cada conjunto es también una clase, pero no todas las clases son también un conjunto. La idea es que algunas colecciones de conjuntos se consideran demasiado grandes para ser conjuntos en sí, y en su lugar se denominan clases.
En cada una de estas teorías, hay varias reglas que dicen bajo qué condiciones se garantiza que una determinada colección de conjuntos sea un conjunto, o que se garantice que sea una clase, o que no pueda ser un conjunto, o cosas por el estilo. Son solo algunas reglas que alguien inventó y encontró interesantes para estudiar, por supuesto; No hay nada mágico en ellos.
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No entraré en los detalles de las reglas, pero los tres están tratando de describir el mismo concepto: “universos Grothendieck”, también conocidos como “cardenales inaccesibles”. Los tres simplemente formalizan este concepto de maneras ligeramente diferentes técnicamente.
La relación entre estas teorías es que ZF es un subconjunto apropiado de NBG que es un subconjunto apropiado de MK.
ZF es un subconjunto adecuado de NBG porque NBG habla de clases y ZF no dice nada sobre las clases. Sin embargo, en cierto sentido, ZF y NBG son intercambiables: cualquier cosa que NBG demuestre sobre conjuntos ya es demostrable en ZF. De hecho, cualquier modelo de ZF se extiende automáticamente a un modelo correspondiente de NBG, donde las clases son solo las colecciones de conjuntos definibles de primer orden.
NBG es un subconjunto de MK de una manera más sustantiva: hay enunciados sobre conjuntos (de hecho, incluso enunciados sobre aritmética básica o programas de computadora, o cosas por el estilo) que son demostrables en MK pero no demostrables en NBG o ZF (suponiendo que ZF es consistente). Por ejemplo, MK puede probar la consistencia de ZF (equivalentemente, la consistencia de NBG), que ZF por sí mismo no puede hacer. Esencialmente, los axiomas de MK nos permiten definir inductivamente la noción de verdad para las oraciones en el lenguaje de ZF y establecer que cada oración demostrable de ZF es verdadera y, por lo tanto, ZF es consistente.
NBG es como MK con su axioma formador de clase paralizado de tal manera que no podemos llevar a cabo esta definición inductiva: en MK, cualquier colección de conjuntos definibles de primer orden comprende una clase, incluidas aquellas dadas por definiciones que utilizan la cuantificación sobre clases En NBG, esto solo es cierto para las definiciones de primer orden que no hacen ningún uso de la cuantificación en todas las clases. Esta es una distinción bastante técnica, pero crucial para las relaciones anteriores.
¿Qué tiene que ver todo esto con las matemáticas ordinarias (es decir, las matemáticas que no se refieren específicamente a la teoría de conjuntos o de un sabor “fundamental” similar)? Mucho menos de lo que piensas. Si le preguntas a un matemático ordinario, es probable que te digan que ZF es el estándar de oro, que trabajan en ZF todo el tiempo, etc. Pero, la mayoría de los matemáticos comunes probablemente no podrían decirte los axiomas para ZF sin buscarlos. En realidad no es tan relevante para su trabajo; simplemente han sido aculturados para decir que sí. Es cierto que la mayoría de las matemáticas “ordinarias” pueden traducirse y formalizarse dentro de ZF, pero también es cierto que la mayoría de las matemáticas “ordinarias” pueden traducirse y formalizarse dentro de sistemas mucho más débiles o simplemente diferentes de ZF.
En general, cualquier pieza matemática viene con su propio sistema de axiomas básicos que son más directamente relevantes para él, y que pueden interpretarse perfectamente, incluso independientemente de cualquier traducción a una teoría de conjuntos externa. Al igual que en la programación, hay modularidad en las matemáticas; Las implementaciones se pueden separar de las interfaces, por así decirlo.
Uno puede ver, de varias maneras, que las distinciones entre estas teorías establecidas resurgen como distinciones entre lo que pueden probar cuando interpretan otras ramas de las matemáticas. Por ejemplo, el hecho de que MK puede probar la consistencia de ZF mientras que ZF en sí no puede significa que hay un hecho aritmético que MK puede probar y ZF no puede (y también un hecho sobre qué programas de computadora se ejecutan para siempre que MK puede probar y ZF no puede, y pronto). O siempre se puede decir “La cuestión de qué tipos de conjuntos existen es parte de la cuestión de qué tipos de espacios topológicos existen, ya que un conjunto es lo mismo que un espacio topológico discreto”, o cosas por el estilo.
Pero, me atrevo a decir, no existe un sentido no artificial en el que ninguna de las distinciones entre estas teorías de conjuntos sea relevante para un matemático ordinario que no solo esté estudiando básicamente teoría de conjuntos / combinatoria infinitaria con otro nombre.