¿Qué tipo de lógica se usa en los teoremas de Green, Stokes y Divergencia? ¿Alguien puede proporcionar la mejor analogía para entender la lógica?

Answer 1

Todos estos teoremas son solo casos especiales del teorema abstracto de Stokes, que dice que

[matemáticas] \ int _ {\ parcial \ Omega} \ omega = \ int_ \ Omega d \ omega [/ matemáticas]

Advertencia: explicación heurística, no matemáticamente precisa

Digamos que [math] \ Omega [/ math] representa una habitación y [math] \ omega [/ math] representa el número de personas en un punto dado de la habitación. Entonces [math] d \ omega [/ math] indica la velocidad a la que cambia el número de personas paradas en un punto dado.

Examinemos cada lado de la ecuación.

• El lado izquierdo dice “Ve a cada puerta de la habitación y suma el número de personas que están en la puerta”. Para ser técnico, este es un conteo firmado, lo que esencialmente significa que contamos a las personas que miran hacia la habitación (es decir, las personas que entran en la habitación) como positivas, y las personas que miran fuera de la habitación como negativas.
• El lado derecho dice “Ve a cada punto (o región pequeña) en la habitación y observa la velocidad a la que las personas entran o salen de este punto. Sume esto en todos los puntos de la habitación”.

El teorema abstracto de Stokes dice que estas dos cantidades son iguales. El razonamiento es esencialmente que si suma la velocidad a la que las personas entran o salen de cada punto de la habitación, obtiene la tarifa neta a la que las personas entran o salen de la habitación. Pero también puede determinar la velocidad a la que las personas entran o salen de la habitación simplemente mirando las puertas; no importa en absoluto lo que sucede dentro de la habitación, al menos suponiendo que esta habitación no sea parte de una sala de maternidad o alguna cosa.

Bien, ahí está tu agradable explicación heurística. Ahora, su trabajo es ir a su libro de texto y hacer coincidir la descripción que he dado aquí con los pasos en la prueba matemática formal de algún avatar de este teorema. (El caso especial más simple del teorema abstracto de Stokes, por cierto, es simplemente el teorema fundamental del cálculo: integrar df en un intervalo es lo mismo que observar el cambio en f en los dos puntos finales de ese intervalo).

Answer 2

¡No estás haciendo la pregunta equivocada en absoluto! Empatizo por completo. Así es como lo entiendo.

Pensemos primero en el teorema de la divergencia. Imagina que estamos bajo el agua en un río, observando el flujo del agua río abajo. Seleccionemos un gran cubo de agua en un momento dado. ¿Cuánta agua fluye dentro / fuera del cubo por segundo?

Podemos responder la pregunta de dos maneras. Primero, veamos un área pequeña [matemática] dA [/ matemática] en una superficie del cubo. Si sale agua del cubo con una velocidad de [math] \ mathbf {F} [/ math] en alguna dirección. Entonces la tasa de agua que sale del cubo viene dada por

[matemáticas] \ mathbf {F} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} \, dA [/ math]

donde [math] \ hat {\ mathbf {n}} [/ math] es el vector unitario normal perpendicular al área pequeña. Esto tiene sentido, porque si [math] \ mathbf {F} [/ math] es perpendicular al vector normal, es decir, paralelo a la superficie, no sale agua, pero si fuera paralelo al vector normal, entonces hay relativamente Gran flujo. Si sumamos eso en todas las pequeñas áreas [matemáticas] dA [/ matemáticas], entonces obtenemos la cantidad total de agua que fluye.

La otra forma de verlo es la siguiente: para averiguar cuánta agua fluye del cubo, dividamos el cubo en muchos cubitos pequeños y preguntemos cuánta agua fluye de cada cubo pequeño. Ahora, resumamos todos los caudales en cada cubo. Tenga en cuenta que para los cubos en el interior, el agua que fluye fuera del cubo fluye hacia otro cubo. Entonces, cuando realizamos la suma, el agua que fluye de un cubo a otro no termina en la suma final, ¡y lo que nos queda es simplemente el agua que fluye del cubo grande!

Entonces, ¿cuánta agua fluye de un cubo pequeño? Digamos que elegimos un cubo centrado en (x, y, z) con dx, dy y dz de muy pequeña longitud para que las caras tengan un paralelo normal a uno de los ejes x, y y z. Entonces la velocidad del agua en la cara del cubo con el paralelo normal al eje x es [matemática] F_ {x} (x, y, z) [/ matemática], y en el otro extremo, [matemática] F_ {x} (x, y, z) + \ frac {\ partial F_ {x}} {\ partial x} (x, y, z) dx [/ math]. Podemos hacer lo mismo para las otras 4 caras para ver que el flujo neto fuera de este cubo es

[matemáticas] \ frac {\ partial F_ {x}} {\ partial x} + \ frac {\ partial F_ {y}} {\ partial y} + \ frac {\ partial F_ {z}} {\ partial z} = \ nabla \ cdot \ mathbf {F} [/ math]

Entonces, sumar esta cantidad en todo el cubo grande es equivalente a sumar la velocidad de flujo en cada dA a lo largo de la superficie del cubo, es decir

[matemáticas] \ oint \ mathbf {F} \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} \, dA = \ iiint \ nabla \ cdot \ mathbf {F} \, dV [/ math]

que es precisamente el teorema de divergencia.

El teorema de Stoke puede entenderse de manera muy similar, aunque es algo más abstracto. Estamos pensando en una superficie y queremos realizar la línea integral alrededor del límite de la superficie. Como antes, podemos hacer esto directamente o hacer la misma línea integral para pequeños cuadrados pequeños en la superficie. Si realizamos todas nuestras integrales de línea en sentido antihorario, puede convencerse como antes de que la integral de línea alrededor de cada pequeño cuadrado viene dada por [math] (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} \, dA [/ math]. Nuevamente, cuando sumamos estos pequeños cuadrados, los cuadrados interiores no contribuyen nada, porque una integral de línea a lo largo de un lado de un cuadrado interior es cancelada por una integral de línea que va en sentido opuesto en el cuadrado adyacente. Entonces, una vez más, la suma le da la integral de línea en el límite, es decir

[matemáticas] \ oint \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {s} = \ iint (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot \ hat {\ mathbf {n}} \, dA [/ math]

Answer 3

La lógica en este teorema, como en todos los teoremas matemáticos, es aristotélica. Todos estos teoremas son versiones elegantes del teorema fundamental del cálculo. De hecho, todos son equivalentes al teorema fundamental del cálculo.