La intuición es simplemente que para una fórmula de forma
existe x F (x)
para ser verdad, entonces debe haber algún objeto en el dominio del discurso (llámelo “c” – el nombre no importa) de modo que
F (c).
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Esto es, simplemente, lo que significa un cuantificador existencial: la fórmula F es válida para algún objeto.
Por lo tanto, podemos reemplazar “existe x F (x)” con “F (c)” y obtener una fórmula que sea satisfactoria si y solo si la fórmula original es satisfactoria (suponiendo que el nombre “c” no aparezca en otra parte del Fórmula F).
Esa es la intuición básica. ¡Sencillo!
Se pone un poco más complicado al incluir cuantificadores universales. Si tenemos
para todo x existe y F (x, y)
(aquí “F” es una fórmula de primer orden), entonces el valor de y que necesitamos en la fórmula PODRÍA depender de x.
Concretamente, considere la declaración “todo ser humano tiene un padre”, formalizado en FOL como
para todo x (Humano (X) -> existe y (Padre (y, x)))
que es equivalente a
para todo x existe y (Humano (x) -> Padre (y, x))
Ahora, si Bob es el padre de Betty y Alan es el padre de Alice, entonces el valor que requerimos que tome “y” será diferente si creemos que “x” es “betty” de lo que sería si “x” fuera “alice”.
¡Entonces no podemos simplemente reemplazar “y” en lo anterior con una constante c! Necesitamos considerar la variable “y” una función de la variable “x” (intuitivamente, esto corresponde al hecho de que exactamente QUIEN elegimos como padre de una persona depende de quién sea la persona).
La fórmula se convertiría en
para todo x (Humano (x) -> Padre (f (x), x))
El proceso se extiende como cabría esperar para fórmulas arbitrariamente complejas.
(para su ejemplo particular, la forma normal de fórmula de skolem es
forall x forall y implica (conectado (x, y) -> y (o (
igual (f (x, y), V),
igual (f (x, y), W), igual (f (x, y), X), igual (f (x, y), Y), igual (f (x, y), f (x, y ))) o (
igual (h_1 (X), f (x, y)), igual (h_2 (X), f (x, y))), conectado (f (x, y), Y)))
La clave aquí es que una fórmula skolemizada es satisfactoria si y solo si la fórmula original lo es. Entonces, si estamos tratando de determinar la satisfacción de una fórmula (lo que hacemos a menudo en la prueba de teoremas), podemos usar la fórmula skolemized en lugar de la fórmula real.