¿Deberíamos rechazar alguna de las leyes de la lógica clásica?

Answer 1

Creo que hay un buen caso, aunque no muy popular, para rechazar la ley del medio excluido:
[matemáticas]
\ forall x. x \ lor \ lnot x
[/matemáticas]

Esta ley establece que cada proposición es verdadera o falsa. Otra forma de pensar al respecto es que si [matemáticas] x [/ matemáticas] conduce a una contradicción, [matemáticas] x [/ matemáticas] no puede sostenerse. Encarna la prueba por contradicción y, más generalmente, “pruebas de existencia” en las que demostramos que algo tiene que existir sin proporcionar un ejemplo.

La alternativa a las pruebas de existencia son las pruebas constructivas en las que probamos que algo existe al construir (o al menos proporcionar un procedimiento para construir) un ejemplo. Eliminar la ley del medio excluido da lugar a una lógica constructiva , también llamada lógica intuicionista , que solo permite pruebas constructivas. No podemos demostrar que algo existe sin construir, o al menos dar un procedimiento para construir, un ejemplo.

Ahora, las pruebas de existencia son muy útiles. Pero, en un sentido muy profundo, no son tan satisfactorios como las pruebas constructivas. Por ejemplo, podrías probar que algo existe pero, al mismo tiempo, ¡ser completamente incapaz de encontrar un ejemplo! Eso se siente como una forma más débil de “existente” que tener un ejemplo en la mano. Es por eso que la lógica constructiva es preferible en un sentido filosófico.

Sin embargo, la lógica constructiva es estrictamente más débil que la lógica clásica. Hay teoremas clásicos que no puedes probar de manera constructiva pero no al revés. Esta es una consideración práctica importante: muchos resultados útiles no serían posibles de manera puramente constructiva. Creo que esta es la razón principal por la que la lógica constructiva es menos popular.

Sin embargo, hay una forma diferente de pensar al respecto que en realidad hace que la lógica constructiva sea más poderosa, no en los teoremas que puede probar, sino en la forma en que puede distinguir ciertos teoremas. Déjame elaborar.

Algo a tener en cuenta sobre la lógica constructiva: la eliminación de la doble negación no es una tormenta. En otras palabras, no siempre es cierto que
[matemáticas]
\ lnot \ lnot x \ Rightarrow x
[/matemáticas]
Sin embargo, puedes ir a la inversa:
[matemáticas]
x \ Rightarrow \ lnot \ lnot x
[/matemáticas]
La intuición aquí es que [matemática] x [/ matemática] es una prueba constructiva: usted proporciona un ejemplo de [matemática] x [/ matemática]. Por otro lado, [math] \ lnot \ lnot x [/ math] es una prueba de que “[math] x [/ math] no conduce a una contradicción”, que es más débil porque no implica necesariamente producir un ejemplo de [matemáticas] x [/ matemáticas].

Esta es la forma clave en que la lógica constructiva es en realidad “más poderosa” que la lógica clásica: podemos diferenciar [matemática] x [/ matemática] de [matemática] \ lnot \ lnot x [/ matemática]. O, dicho de otra manera, podemos diferenciar una prueba de [matemáticas] x [/ matemáticas] de una prueba más débil de que [matemáticas] x [/ matemáticas] no conduce a ninguna contradicción.

Esta intuición puede formalizarse incorporando realmente la lógica clásica en la lógica constructiva. Podemos hacer esto mapeando cada teorema clásico [matemática] \ phi [/ matemática] a un teorema constructivo [matemática] \ lnot \ lnot \ phi [/ matemática]. Resulta que si podemos probar [math] \ phi [/ math] de forma clásica, siempre podemos probar [math] \ lnot \ lnot \ phi [/ math] de manera constructiva. ¡Intuitivamente, podemos pensar en la prueba clásica como un ejemplo construido de cómo [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] no conduce a una contradicción!

No estoy seguro de cómo los matemáticos prueban que esta traducción es válida. Sin embargo, resulta ser realmente fácil al caer en CS a través del isomorfismo de Curry-Howard. Esta “traducción de doble negación” corresponde a la transformación del código en “estilo de paso de continuación” (CPS). Una transformación CPS es bastante fácil de implementar, lo que muestra que la traducción funciona.

Resulta que podemos usar una lógica constructiva como una lógica clásica más precisa . Siempre que queramos probar [math] x [/ math] de forma clásica, podemos intentar probar [math] x [/ math] o [math] \ lnot \ lnot x [/ math] de forma constructiva. Cualquiera de los resultados es igual a una prueba clásica, pero también sabemos que una prueba para [math] \ lnot \ lnot x [/ math] es más débil de una manera muy específica.

Answer 2

¿Qué significa rechazar tal ley? ¿Qué significa aceptar tal ley?

Ciertamente, hay un juego que podemos jugar que es el juego de la lógica clásica; Este juego es a menudo interesante y útil para nosotros. También hay otros juegos de aspecto similar pero diferentes que podemos jugar que también son interesantes y útiles, que bien podríamos llamar lógicas alternativas. Pero así como no se trata de tener que elegir entre damas y ajedrez, en realidad no se trata de tener que elegir entre diferentes sistemas lógicos. Todos existen y tienen sus diversas interpretaciones, aplicaciones, relaciones y demás.

Answer 3

Estoy tentado a decir que deberíamos rechazar todas las leyes de la lógica clásica en algún grado u otro. No puedo pensar en una sola ley clásica que no tenga al menos una sola excepción trivial. Las suposiciones que conducen a la coherencia postulan efectivamente la coherencia en las premisas que dan como resultado la excepción singular de un argumento de círculo vicioso en un razonamiento consistente. Cualquier otro argumento circular se considera una falacia lógica que no proporciona información. Los campos se pueden definir para cada a / b en C, excepto para b = 0 o a = 0 y b = 0. Incluso la ley de identidad es sospechosa, ya que vemos claramente que ningún objeto físico permanece exactamente igual en cada momento debido a la tasa constante de cambio en la física y la relatividad general de los eventos; En otras palabras, la termodinámica afirma que cualquier sistema idéntico tiende a decaer a un estado más estable que no es idéntico a su estado pasado.

No me malinterpreten, la lógica clásica y sus leyes han sido de gran ayuda para modelar el mundo, pero ciertamente no es la teoría final de todo. Sobre todo, la lógica clásica no tiene en cuenta la subjetividad, el libre albedrío o la elección, y la paradoja de los mentirosos y las ficciones también. Si los desarrollos recientes en la lógica no aristotélica son una indicación, aún queda mucho por desarrollar fuera de las leyes de la lógica clásica y los enfoques recientes de la demolición de las leyes clásicas han provocado una representación explícita de los procesos cuánticos como la superposición y el enredo en la lógica cuántica. (Tesis de Paola Zizzi, 2010).