Matemáticas y lógica: ¿alguien puede aclarar la notación en la lógica proposicional y la teoría de conjuntos?

Answer 1

Hay un par de problemas aquí.

En primer lugar, en la lógica proposicional, [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas] son ​​proposiciones, no conjuntos. No tiene sentido leer [math] p \ rightarrow q [/ math] como “[math] p [/ math] es un subconjunto de [math] q [/ math]” porque es como hablar sobre los colores que son.

Segundo, en la notación de conjunto [matemática] P \ supset Q [/ matemática] significa que [matemática] Q [/ matemática] es un subconjunto de [matemática] P [/ matemática], no al revés. Hay una analogía aquí porque [math] p \ rightarrow q [/ math] significa que [math] q [/ math] tiene que ser cierto siempre que [math] p [/ math] lo sea, pero también permite la posibilidad de [math ] q [/ math] es verdadero cuando [math] p [/ math] es falso. Sin embargo, eso es solo una analogía: como dije anteriormente, las proposiciones no son conjuntos.

Answer 2

Si. En la lógica propositiva [math] \ supset [/ math] generalmente tiene el mismo significado que [math] \ Rightarrow [/ math] y [math] \ rightarrow [/ math]. Pero en la teoría de conjuntos [math] \ supset [/ math] significa relación de supset entre conjuntos. La teoría de conjuntos axiomáticos se desarrolla en la lógica de primer orden (se distingue de la lógica proposicional por el uso de variables cuantificadas), por lo que se define como [matemáticas] A \ supset B \ leftrightarrow \ forall x (x \ en B \ rightarrow x \ en A) [/matemáticas]