No es necesario en ningún sistema. Está ahí si lo quieres.
La razón por la que está allí en la lógica clásica es porque la lógica clásica está destinada a describir el álgebra booleana estándar {0, 1}, la idea es que puede derivar Q de P en caso de que pueda estar seguro de que el valor de Q (uno de 0 o 1) es al menos tan grande como el valor de P. Por supuesto, {0, 1} tiene un elemento mínimo 0, por lo que podemos derivar cualquier cosa de una declaración cuyo valor sea siempre 0 (también conocido como una contradicción).
La lógica intuicionista es de la misma manera; aquí, nuestro interés fundamental no está en el álgebra booleana estándar, sino en las álgebras de Heyting en general. Pero parte de la estructura de un álgebra de Heyting es finitaria menos límites superiores, incluido un elemento mínimo, y así todo sucede exactamente de la misma manera.
Del mismo modo para la lógica de las meras redes distributivas. O enrejados arbitrarios. O incluso simples unir-semilattices.
Básicamente, en una gran cantidad de sistemas lógicos de interés, es conveniente tener una regla como [matemáticas] A_1 \ vee A_2 \ vee A_3 \ vee… \ vdash B [/ matemáticas] iff [matemáticas] A_i \ vdash B [/ matemáticas ] para cada [matemática] i [/ matemática]. El caso de 2 arios de esto es familiar, pero no particularmente especial; El caso 0-aria de esto no es fundamentalmente diferente. A la disyunción vacía (o sus equivalentes) se les da el nombre especial de “contradicción”, esto se convierte en la ley de la explosión.
Eso sí, estoy usando “contradicción” aquí para significar algo así como “equivalente a una disyunción vacía”. Si, para usted, contradicción significa algo así como “Una declaración de la forma [matemáticas] A \ wedge \ neg A [/ matemáticas]”, entonces tenemos otra opción: cambiar nuestra cuenta de tales declaraciones.
Por ejemplo, la lógica brasileña (una forma de lógica paraconsistente) hace esto; en la lógica brasileña, todavía tenemos que [matemáticas] \ perp \; \ vdash B [/ math] para arbitraria [math] B [/ math] (donde [math] \ perp [/ math] es el símbolo utilizado para representar la falsedad). Sin embargo, no tenemos que [matemáticas] A \ wedge \ neg A \ vdash \ perp [/ math]; la equivalencia ordinaria entre [math] \ neg A [/ math] y [math] A \ supset \ perp [/ math] se corta.
De hecho, la lógica brasileña es solo el doble de la lógica intuicionista; es justo lo que obtienes cuando miras las álgebras de Heyting al revés. Una vinculación en el lenguaje de AND, OR, y NOT se mantiene en la lógica brasileña solo en caso de revertir la vinculación e intercambiar AND por OR, produce una declaración que se mantiene en la lógica intuicionista. (El A más IMPLICA B conectivo de la lógica intuicionista correspondería a un B SIN A conectivo en la lógica brasileña). Así como la lógica intuicionista carece de la eliminación general de la doble negación y la capacidad de concluir [matemática] A \ vee \ neg A [/ matemática] de la verdad, la lógica brasileña carece de la introducción general de la doble negación y la capacidad de concluir la falsedad de [matemática] A \ wedge \ neg A [/ matemáticas].
Pero todavía tiene una explosión, en el sentido de que todo se deriva de la falsedad. Es solo que la falsedad no se relaciona con la conjunción y la negación en todas las formas en que generalmente lo hace.