Si y no.
Primero, la declaración del axioma de límite superior mínimo.
Un conjunto S está limitado anteriormente por un número B si cada elemento en S es menor o igual que B. Un número L es el límite superior mínimo de S si L es un límite superior de S y no hay límite superior de S más pequeño que L.
El axioma dice que si un conjunto no vacío S tiene un límite superior B, entonces tiene un límite superior mínimo L.
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Sí, tiene sentido intuitivamente.
¿Por qué? Porque se supone que los números reales no tienen “brechas”; Se supone que deben estar completos.
Sea T el conjunto de todos los límites superiores de S. Tenga en cuenta que T no está vacío ya que incluye el número B. Si T tiene un elemento más pequeño, entonces hemos terminado, ya que será el límite superior mínimo.
Ahora deje que S ‘sea el conjunto de todos los límites inferiores de T. Observe que S está contenido en S’, por lo que S ‘no está vacío. Si S ‘tiene un elemento más grande, entonces puede mostrar que también es el elemento más pequeño de T, por lo que es el límite superior más bajo de S, y hemos terminado.
De lo contrario, T no tiene el elemento más pequeño y S ‘no tiene el elemento más grande. Pero no hay elementos entre S ‘y T, porque cualquier número mayor que S’ ya estaría en T.
Así que ahora hemos dividido los números reales en un conjunto “izquierdo” S ‘y un conjunto “derecho” T, y S’ no tiene el elemento más grande, mientras que T no tiene el elemento más pequeño. Eso hace una “brecha” en los números reales. Pero se supone que los números reales no tienen lagunas.
No, no tiene sentido intuitivamente.
Por qué no? Supongamos que tienes una secuencia creciente de números
[matemáticas] a_1, a_2, \ ldots, a_n, \ ldots [/ math]
limitado anteriormente por B. (Entonces S es el conjunto de números en la secuencia). ¿Cómo encuentras el límite superior mínimo L? No importa qué tan lejos llegue en la secuencia, nunca sabrá si está cerca de L o lejos de ella. Todo lo que sabes es que L está entre el número [math] a_n [/ math] al que has llegado y B, pero no sabes dónde.
El axioma de límite superior mínimo no es constructivo.
Entonces es un axioma.
Determina lo que estamos viendo. Si lo acepta, entonces está trabajando con lo que los matemáticos llaman los números reales, uno de los temas centrales de las matemáticas clásicas.
Matemática constructiva.
Si lo rechaza, pero aún desea hacer un análisis, debe encontrar algo con lo que reemplazarlo. Los constructivistas han hecho eso y han desarrollado teorías alternativas del análisis matemático.