Trataré de exponer las dos ideas de manera análoga. Aquí está Russell:
Un conjunto se contiene a sí mismo o no. Considere el conjunto S que contiene R si y solo si R no se contiene a sí mismo. ¿S se contiene a sí mismo?
No puedes responder esta pregunta. Si S se contiene a sí mismo, entonces no lo hace, y viceversa. La resolución generalmente aceptada para esta paradoja es axiomatizar la teoría de conjuntos correctamente, digamos con ZFC. En general, para una propiedad p no puede simplemente “tomar el conjunto de todos los conjuntos con la propiedad p”, y de hecho ni siquiera puede tener un conjunto que se contenga a sí mismo (ver la nota a continuación).
Ahora aquí está el problema de detención “paradoja”
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Una máquina de Turing se detiene o no se detiene. Considere la Turing Machine T que se detiene en la entrada U si y solo si U no se detiene. ¿Se detiene T cuando se administra como entrada?
Nuevamente, no puede responder esta pregunta, porque si T se detiene sobre sí mismo, entonces no se detiene, y si no lo hace, entonces lo hace. La resolución aquí es concluir que la máquina Turing T no puede existir. (Por lo tanto, el problema de detención es indecidible; si no lo fuera, podría construir T.)
Un último punto importante: tenga en cuenta que rechazar la “autorreferencia” no es realmente una solución a la paradoja. Puede construir máquinas de Turing que calculen cosas dadas a sí mismas como entrada. (Ver el Teorema de la recursión.) La resolución de la paradoja de Russell parece fundamentalmente diferente a este respecto. El axioma de la regularidad implica que ningún conjunto se contiene a sí mismo, es decir, y puede ser tentador pensar que esta es “la solución” de Russell (¡solía pensar eso!). Pero solo decir “ningún conjunto puede contenerse a sí mismo” en realidad no resuelve la paradoja; todo lo que hiciste fue hacer de S el conjunto de todos los conjuntos … incluida la propia S. La resolución real es tener en cuenta que, en general, ZFC no le permite tomar el conjunto de todos los conjuntos que satisfacen una propiedad dada, no más de lo que puede tomar una máquina Turing que se detiene en todas las entradas que satisfacen una propiedad determinada.