¿Se puede construir la teoría de los espacios de Hilbert usando lógica de primer orden? Si es así, entonces, dado que la mecánica cuántica es descrita por estos espacios, ¿puede la lógica cuántica ‘derivarse’ en algún sentido o actuar como una ‘extensión’ para el primer orden?

Answer 1

La lógica de primer orden y la relación teórica establecida de [matemáticas] \ en [/ matemáticas] es suficiente para definir los espacios de Hilbert. El espacio se define algebraicamente desde espacios vectoriales básicos con algunas complicaciones.

En cuanto a la lógica cuántica. El mejor ejemplo que conozco de la lógica cuántica es Baltag y Smets, donde la lógica cuántica se trata en una configuración de lógica modal dinámica. La relación entre la lógica estática y modal y la lógica de primer orden está bien establecida en la medida en que la primera está incluida en la segunda. La relación entre las lógicas modales dinámicas y la lógica de primer orden es menos clara, ya que la mayoría de las lógicas dinámicas implican operaciones de actualización del modelo, que no pueden cuantificarse con una restricción en los cuantificadores de primer orden. Algunos detalles del caso cuántico se pueden ver aquí: Página en vub.ac.be

También hay una breve encuesta histórica de la lógica cuántica como se interpreta tradicionalmente. El párrafo clave:

Lo que tradicionalmente se conoce como “lógica cuántica” es esencialmente una investigación algebraica de la red ortomodular (L, ⊆, ∧, [math] \ sqcup [/ math], ∼) de todas las propiedades comprobables de un sistema cuántico. Formalmente, la sintaxis de Quantum Logic (QL) se crea a partir de un conjunto de fórmulas básicas p (que denota algunas propiedades comprobables básicas):

ϕ :: = ⊥ | p | ∼ ϕ | ϕ ∧ ϕ

donde la “parte superior” y la unión son definibles de la manera habitual: T: = ∼ ⊥, ϕ [matemáticas] \ sqcup [/ matemáticas] ψ: = ∼ (∼ ϕ∧ ∼ ψ). En el momento en que nació Quantum Logic, la “lógica formal” se concibió como un cálculo puramente simbólico, es decir, una sintaxis junto con una teoría axiomática, por lo que Birkho ff y von Neumann
no dio explícitamente una semántica formal para la lógica cuántica. Sin embargo, señalaron claramente la interpretación del espacio de Hilbert (en términos de subespacios lineales cerrados). Pero uno de los objetivos del primer proyecto de lógica cuántica era proporcionar una axiomatización de la lógica cuántica que sea completa (con respecto a la interpretación del espacio de Hilbert) y se dé en términos puramente cualitativos (algebraico-lógico), sin ninguna referencia a los espacios de Hilbert , probabilidades u otras nociones cuantitativas. Entonces, la propuesta de Birkho ff
y von Neumann fue que el lenguaje de las redes reticuladas ortocomplementadas era la abstracción cualitativa apropiada para responder esta pregunta

Answer 2

La lógica de primer orden no tiene apuntalamiento numérico. ¿Cómo manejaría cosas como métricas y productos vectoriales? La lógica de primer orden es íntimamente similar a las estructuras de celosía y álgebras como el álgebra booleana.