Incluso si sabe (o piensa que lo sabe) no está de más hacer una verificación autorizada. Comencemos con una definición de diccionario:
Del Diccionario Revisado de Webster (1913) [web1913]: Axiom, n. L. axioma, Gr .; aquello que se considera digno, lo que se supone, una base de demostración, un principio, fr .; pensar digno, fr .; digno, pesando tanto como; cf .; conducir, conducir, también pesar tanto: cf F. axiome. Ver agente. 1. (Lógica y Matemáticas). Una verdad evidente y necesaria, o una proposición cuya verdad es tan evidente como a primera vista que ningún razonamiento o demostración puede hacerla más clara; una proposición que es necesario dar por sentado; como, `` El todo es mayor que una parte '', `` Una cosa no puede, al mismo tiempo, ser y no ser ''. 2. Un principio establecido en algún arte o ciencia, que, aunque no es necesario verdad, es universalmente recibida; como, los axiomas de la economía política.
Estas definiciones son la raíz de mucho mal en los mundos de la filosofía, la religión y el discurso político. La primera de estas dos definiciones se enseña casi universalmente (generalmente en Geometría Euclidiana, que es el único curso serio de matemáticas de cerebro completo que casi todos los ciudadanos en al menos los Estados Unidos deben tomar para graduarse de la escuela secundaria y, por lo tanto, no con poca frecuencia, las únicas matemáticas fuera de unos pocos cursos de lógica simbólica o predicada y tal vez un curso de álgebra al que generalmente se expone un estudiante de filosofía amante de las humanidades). Unos pocos estudiantes pueden seguir adelante y escuchar el término utilizado en el segundo sentido, “ilusorio” (ilusorio porque al llamar a un principio establecido un “axioma”, generalmente se intenta convencer al oyente de que realmente es un “yo” -verdad evidente y necesaria ”).
Por desgracia, ambos son fundamentalmente incorrectos (aunque el segundo está más cerca que el primero). Cuando digo incorrecto, quiero decir que son completamente, formal y técnicamente incorrectos , no solo un poco equivocados en detalle. Ninguno de estos es lo que es un axioma, en matemáticas (de qué uso técnico se deriva la definición del término) 5.1.
Esto se puede ilustrar mejor mediante un ejemplo simple, bien conocido por cualquiera que estudie matemáticas más allá del nivel primario5.2. Todos (como se señaló anteriormente) aprenden la geometría de Euclides, como el sistema axiomático arquetípico. Uno comienza con los Axiomas de la geometría plana y procede a derivar Teoremas (no Leyes, que son algo completamente diferente, si realmente se molesta en llamar a las cosas por sus nombres correctos). Euclides en su mayor parte (y sus muchos sucesores superados en gran parte) sostuvieron los axiomas como verdades evidentes, aunque uno debe notar cuidadosamente que la raíz latina significa “lo que se supone” y no “lo que es evidentemente conocido ”!
Bueno, entonces, ¿qué pasa con la geometría no euclidiana?
Como finalmente se descubrió a mediados y finales de 1800 (por Gauss, Riemmann y algunos otros), la geometría en (por ejemplo) una superficie curva como la de una esfera no es lo mismo que la geometría en un plano. En una esfera, las líneas paralelas únicas siempre se encuentran exactamente dos veces . Los triángulos tienen más de 180.
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, con 180
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siendo un límite inferior estricto para triángulos “pequeños” que se encuentran aproximadamente en un plano. Eso no quiere decir que no haya geometría en las superficies bidimensionales de las esferas, o hiperboloides, o elipsiods, o bloboides arbitrarios tipo ameba, solo que es diferente de la geometría en el plano, y que la diferencia es fundamentalmente conectado a las diferencias en los axiomas de los cuales uno razona.
Diferentes axiomas, diferentes teoremas, diferentes resultados, con todos los sistemas axiomáticos considerados y sus teoremas igualmente vacíos en términos de “significado”, si por significado quiere decir “en alguna relación necesaria con el mundo real”.
Durante mucho tiempo, que serían miles de años , después de la invención del razonamiento axiomático, así fue como funcionaba el mundo. Los filósofos (y muchos matemáticos) continuaron pensando en los axiomas como verdades evidentes, leyes de la lógica y las matemáticas, por así decirlo, y cientos de generaciones de estudiantes derivaron los teoremas de Euclides sobre la congruencia de triángulos sin pensar demasiado profundamente ellos. Incluso el descubrimiento tardío de que podría haber diferentes axiomas que condujeran a diferentes teoremas dejó intacta la santidad del razonamiento axiomático y lógico, seduciendo a muchos filósofos para continuar usando los procesos de razonamiento esencialmente clásicos que siguen, de hecho, al uso de varios axiomas evidentes que rara vez se reconocían abiertamente y que eran suposiciones imposibles de demostrar , cada uno.
Sin embargo, a fines de 1800 y principios de 1900, comenzaron a aparecer algunas grietas fundamentales , esta vez en la teoría de la lógica misma, a medida que matemáticos y físicos cada vez más brillantes comenzaron a examinarla de manera muy crítica. Esto fue motivado en parte por el desarrollo de muchas cosas sorprendentemente nuevas y diferentes en matemáticas. De repente, no solo no estaba prohibido desafiar a maestros como Euclides, ¡se convirtió en la moda!
Esto se debió casi por completo a los desarrollos relacionados con el campo de la física (una de las grandes historias de éxito de la filosofía y el padre de muchas matemáticas). Los iconoclastas demostraron que el Universo en sí resulta, de hecho, no ser ni simple ni clásico ni plano, y de hecho viola todo tipo de principios “evidentes” hasta el punto en que los seres humanos (con unos pocos extremadamente bien- excepciones educadas y bastante brillantes, tal vez) ya no pueden entenderlo realmente. Hagamos una revisión rápida.
Einstein, Lorentz y Minkowski descubrieron y envolvieron en una hermosa pieza de matemáticas nuevas que el espacio no es plano después de todo, que el tiempo no es una variable independiente sacrosanta sino que es “simplemente otra dimensión” no solo a la par con dimensiones espaciales, pero una que se mezcla con ellas cada vez que algo se mueve, y que los axiomas de Euclides (y de Galileo) no eran, como resultó, incluso los axiomas correctos para describir la estructura espacio-temporal del Universo. Enseño relatividad especial tanto a estudiantes de pregrado como de posgrado, y es literalmente un ejercicio de expansión de la mente intentar visualizar y pensar en términos de espacio-tiempo curvo y tetradimensional cuando toda su percepción psicológica del Universo es definitivamente de tres dimensiones aparentemente planas y un tiempo independiente 5.3.
En consecuencia, cada argumento filosófico que se haya hecho se basa en un ordenamiento temporal implícito de los eventos o que es implícitamente independiente del punto de vista relativo del observador (y hay argumentos en abundancia en esta categoría, dado el ordenamiento implícito en modus ponens , si A entonces B ) al menos tiene que ser reexaminado y probablemente sea simplemente “incorrecto”, si uno tiene un criterio de corrección que incluye el uso de la lógica destinada a aplicarse a la realidad que no es totalmente inconsistente con la lógica revelada en las observaciones empíricas de la realidad5.4. Sin embargo, la lección más amplia es que tales argumentos, para tener incluso una validez provisional como base para algún tipo de racionalismo, necesitan tener una especie de “invariancia” con respecto al espacio de posibles axiomas fundamentales porque mañana alguien podría descubrir ese espacio-tiempo de cuatro dimensiones es en sí mismo una visión proyectiva de una estructura que es mucho más grande y más compleja, o más simple, con diferentes axiomas y definiciones que formulan la teoría. Si no tenemos cuidado, tendremos que volver a hacer el proceso de aventar de nuevo 5.5.
El espacio curvo es simple en comparación con la teoría cuántica. Al final del primer o segundo año de la escuela de posgrado de física, la mayoría de los estudiantes 5.6 han hecho las paces con la teoría de la relatividad especial, ya que es matemáticamente elegante . La teoría cuántica lleva años, incluso décadas, para comprender aproximadamente . Feynman dijo una vez que “Nadie entiende la mecánica cuántica” y Feynman era un supergenio portador de cartas. La teoría cuántica es demasiado difícil de comprender por completo para la mente humana, incluso cuando esa mente puede hacer cálculos con ella y obtener respuestas correctas.
La mecánica cuántica puede desarrollarse axiomáticamente, y generalmente se enseña en el nivel introductorio diferenciando (en algún momento) sus axiomas y contrastando con los axiomas de la mecánica clásica. Quizás el mejor ejemplo de un desarrollo axiomático autónomo (uno que evite introducir el punto de elección clásico / cuántico hasta que se defina la geometría de los estados de un “sistema” genérico y el álgebra del proceso de medición, haciendo matemáticamente preciso un problema que los filósofos abordan en palabras) es la cinemática cuántica y dinámica de Schwinger 5.7.
Como discutiremos en capítulos futuros, la teoría cuántica destruye prácticamente las conclusiones implícitamente clásicas de racionalistas e idealistas donde esos argumentos se basan implícitamente en axiomas “evidentes” que son de naturaleza clásica. Hace un resumen de algunas de las premisas fundamentales supuestamente inviolables sobre las que discuten, donde una cosa puede ser “ser o no ser”, pero no ambas . En la mecánica cuántica, las cosas están casi siempre en un estado que solo se puede llamar ambos, a menos que los mire , en cuyo caso se resuelven en uno u otro; es imposible hablar en abstracto del electrón que está en la caja A o la caja B, o de haber pasado por la rendija A o la rendija B a menos que lo midas y enredes su estado abstracto con tu propio estado desconocido e incognoscible como observador5.8. Incluso la medición no lo saca de peligro, ya que una medición de la propiedad X a menudo crea un estado en el que la propiedad Y ya no se define clásicamente de acuerdo con las ingenuas “Leyes de la lógica”.
Tenga en cuenta que el punto no es que los argumentos filosóficos ahora deberían ser consistentes con la teoría cuántica y todos deberíamos ser positivistas lógicos (más sobre eso más adelante). Después de todo, es probable que la teoría cuántica no sea lo suficientemente precisa y aún no se haya unificado adecuadamente para que pueda describir todos los campos (especialmente la gravedad) dentro de un marco relativista donde las interacciones se deben a la curvatura del espacio-tiempo y no al intercambio de cuantos. campo subyacente Incluso si los físicos resuelven ese problema (y podrían, eventualmente) siempre hay, o eso parece, abrir otro cuadro dentro del último cuadro para el que logramos encontrar una clave. Es que los argumentos filosóficos deben comenzar estableciendo los axiomas de los cuales se derivan sus conclusiones y deben ser vistos como una verdad condicional que puede ser dudada y juzgada de acuerdo con esos axiomas establecidos o mostrarse como conclusiones que son invariantes con respecto a las clases de movimiento en el “espacio axiomático”.
Cada vez que un físico o matemático comienza a hablar así5.9 usted sabe que está en serios problemas. En realidad, todos estábamos precisamente en este tipo de problemas a principios del siglo pasado, cuando un matemático llamado Cantor estaba trabajando en ciertas clases de infinito en la teoría de conjuntos. Cantor fue el tipo que se dio cuenta de que, si bien (por ejemplo) el recuento del conjunto de todos los números racionales es un número bastante grande, un infinito contable, de hecho, el recuento del conjunto de todos los números irracionales es un número mayor , un infinito contable Esta pequeña observación (muy simple) tuvo enormes consecuencias en la teoría de números e incluso en la física y el cálculo, donde se relaciona con la teoría de medidas5.10.
También tuvo implicaciones en los campos de la informática, donde podría estar relacionado con la “computabilidad” de varios patrones formales y, como resultó, con la lógica formal, ¡el estudio de los sistemas axiomáticos! Nuestro amigo Bertrand Russell5.11 hizo una importante contribución aquí mismo, que implica cómo un conjunto grande se puede dividir en conjuntos más pequeños. Este no es un tratado de matemáticas, por lo que no recapitularemos estos argumentos en detalle, sino que llegaremos al punto importante. El resultado de esta línea de razonamiento es que al mapear “axiomas” y “proposiciones” (cosas que pueden considerarse verdaderas o falsas de acuerdo con los axiomas y derivaciones lógicas de las mismas) en un espacio de enteros y aplicando la lógica conocida de sistemas enteros para ellos, la santidad de los sistemas axiomáticos en sí fue metafóricamente a quien Kurt Gödel le dio la vuelta a la cabeza5.12. Lo que Gödel mostró es lo suficientemente importante como para justificar un capítulo propio (donde evitaremos el Mal de los detalles matemáticos pero demostraremos en términos bastante simples cómo los sistemas de razonamiento verbalizables de casi todo tipo son inconsistentes (y los matemáticos odian eso) o incompletos ( ooo, los matemáticos odian eso también).
Aquí hay un resumen de lo que debe tomar de este capítulo y del siguiente. Son, espero, un resumen justo de la estructura de la lógica matemática moderna como un sistema capaz de examinarse a sí mismo y abarcar la física y las matemáticas modernas:
- Las proposiciones son objetos que deseamos analizar racionalmente y asignarles un valor de verdadero o falso. Tenga en cuenta que estos son objetos algebraicos o simbólicos . Un “centavo” no es el tipo correcto de objeto, ya que no puede ser verdadero o falso o “futuro nublado, intente nuevamente más tarde 5.13; Una declaración como “Todos los hombres son mortales” es una proposición.
- Los axiomas no son verdades evidentes en ningún tipo de sistema racional, son suposiciones no demostrables cuya verdad o falsedad siempre deben estar precedidas mentalmente por un implícito “Si suponemos que …”. Recordando que, en última instancia, “asumir” puede hacernos una tontería, como dice mi esposa (un médico, que es una profesión muy empírica y poco confiable). En realidad, son solo afirmaciones o proposiciones a las que otorgamos un estatus primario especial y exentas de la necesidad de una prueba independiente.
- Las definiciones básicamente especifican los objetos sobre los cuales actúan los axiomas o la naturaleza de esa acción. Son puramente descriptivos y, por lo tanto, tampoco demostrables, pero tampoco son suposiciones. No puede probar que “centavo” significa astillas que pueden ser cobre, zinc o lo que sea, producidas por una institución gubernamental autorizada, con una de varias clases posibles de historia y morfología, solo puede asignar la palabra para referirse a esa clase de objetos reales , cada uno de los cuales es un individuo único con sus propias diferencias específicas) por medio de una definición suficientemente precisa. Esta definición en sí misma se expresa en palabras que requieren definición. En última instancia, cualquier diccionario dado es circular : define palabras en términos de otras palabras en el diccionario y no se puede entender a menos que ya comprenda esas palabras. ¿Cómo podemos agrupar los objetos en una clase y nombrar la clase “centavo”? Es uno de los milagros de la conciencia humana, esta capacidad de generalizar y construir álgebras y lenguajes simbólicos, y está claramente construida en la funcionalidad humana, ya que la mayoría de los otros animales carecen de ella por completo e incluso en los humanos es notablemente frágil y depende de la estimulación del desarrollo. el tiempo justo.
- Reglas de lógica que ya hemos discutido anteriormente. Durante miles de años se pensó que las reglas de la lógica eran universales y más allá de toda duda, axiomas en el sentido de ser verdad manifiesta . Sin embargo, se descubrió hace menos de cien años que la Ley del Medio Excluido no es, de hecho, una “ley” universal, sino más bien una suposición. Se puede dejar fuera de ciertas clases de sistemas lógicos y el sistema resultante todavía funciona para admitir la “razón”. Ciertas interpretaciones de la teoría cuántica sugieren de manera similar que la Ley de Contradicción es esencialmente de naturaleza clásica y no puede aplicarse ingenuamente a las afirmaciones clásicas en una teoría cuántica. Una partícula no puede estar “en posición” y “no estar en posición en teoría clásica – afirmar esto sería una contradicción. Sin embargo, en la teoría cuántica hay una tercera alternativa: que su función de onda tiene un soporte distinto de cero y no se puede decir que la partícula esté o no “en posición”. Las palabras en inglés tienen un sentido clásico perfecto, pero no son formas válidas para el razonamiento cuántico, y hacer afirmaciones ingenuamente formuladas clásicamente sobre la partícula y su posición conducirá a uno a todo tipo de paradojas clásicas. Incluso la ley de identidad (que es, con mucho, la más fuerte de los tres) se vuelve un poco inestable en un mundo donde un par positrón / electrón puede aniquilarse para producir fotones, o crearse a partir de fotones en el proceso inverso, especialmente cuando los electrones siempre se describen mediante funciones de onda relativistas que son microreversibles y El electrón, el positrón y los fotones están mecánicamente entrelazados cuánticamente y manchados en el espacio y el tiempo. La moraleja de la historia no es que la lógica sea de alguna manera inválida, es que debemos ser muy cautelosos acerca de nuestra creencia en la verdad absoluta , especialmente cuando esas creencias se refieren al sistema por el cual decidimos sobre las verdades. La historia está llena de casos en los que la mente humana quedó atrapada por sus propias ideas preconcebidas. En este caso, estamos atrapados linquísticamente por el lenguaje clásico aprendido a temprana edad por nuestros cerebros evolucionados de forma clásica, donde las cosas solo se pueden “ver” en tres o menos dimensiones y le da dolor de cabeza tratar de dibujar o imaginar objetos en cuatro o más, donde las proposiciones no pueden ser verdaderas y falsas y deben ser una u otra. Es interesante notar que incluso el juguete de un niño como la Bola Ocho es lo suficientemente inteligente como para responder “tal vez” o “intente nuevamente más tarde”, pero los lógicos durante miles de años insistieron en “sí” o “no” sin medio ¡suelo!
- Los sistemas axiomáticos pueden ser consistentes (donde ninguno de los axiomas se contradice directa o indirectamente). También pueden ser inconsistentes . Fácilmente, como resulta. Casi inevitablemente, realmente, especialmente si eres descuidado y comienzas a arrojar demasiadas proposiciones como axiomas. Puede haber solo una forma de resolver correctamente cualquier problema matemático dado, pero siempre hay una infinidad de formas de equivocarse, y hacerlo mal generalmente surge de un estudiante que usa algún axioma o teorema incorrectamente, introduciendo de facto un axioma nuevo e inconsistente en el problema.
- Los sistemas axiomáticos pueden estar completos (donde todas las proposiciones que pueden enmarcarse de manera sensata pueden determinarse como verdaderas o falsas desarrollando los axiomas con lógica) o pueden estar incompletas . En realidad, puede haber proposiciones que estén enmarcadas de manera sensata y cuyo contenido semántico sea comprensible en el lenguaje humano cuya verdad o falsedad dualista no pueda determinarse dentro de un conjunto de razonamientos axiomáticos de otra manera sensible y bien definido.
Los dos últimos elementos, integridad y consistencia, son adiciones bastante recientes a la teoría lógica y matemática. De hecho, existe un conflicto entre la consistencia y la integridad, donde un sistema consistente de más de un cierto grado de complejidad debe estar incompleto y contener declaraciones que (por ejemplo) son verdaderas pero no pueden ser probadas , declaraciones que no son verdaderas ni falso. Tenga en cuenta que dicho sistema siempre puede completarse agregando más axiomas para asignar específicamente la verdad o la falsedad a estas proposiciones “ambiguas” o “autocontradictorias”, pero esto, por supuesto, generalmente solo se puede hacer a expensas de no ser más consistente.