¿Qué es, en términos simples, la paradoja de Russell?

Las otras respuestas han dado una buena descripción de la paradoja. Me gustaría decir algo acerca de cómo se hace para arreglar la teoría de conjuntos para que no ocurra la paradoja.

La paradoja de Russell se deriva de la capacidad de la ingenua teoría de conjuntos para construir el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen. Este es un caso especial de una capacidad más general para construir el conjunto de todos los conjuntos que satisfacen alguna propiedad. Antes de la paradoja de Russell, los matemáticos pensaban que esto era algo que podían hacer libremente. El axioma que dice que se le permite hacer esto fue presentado formalmente por Frege y se llama comprensión sin restricciones , y lo que la paradoja de Russell mostró es que permitir la comprensión sin restricciones en la teoría de conjuntos conduce a una contradicción. Cual es malo.

La solución ahora estándar es reemplazar la comprensión sin restricciones con un axioma más débil llamado comprensión restringida . Con una comprensión restringida, ya no se le permite construir el conjunto de todos los conjuntos que satisfacen alguna propiedad. Ahora solo se le permite construir el conjunto de todos los elementos de algún otro conjunto que satisfaga alguna propiedad. (Debo mencionar que en el enfoque ahora estándar de la teoría de conjuntos, los elementos de los conjuntos son otros conjuntos. Es todo un conjunto).

Para ejecutar la paradoja de Russell con una comprensión restringida, primero debe construir el conjunto de todos los conjuntos. Y otro axioma, la fundación , prohíbe que exista tal conjunto.

Así es como salvas al mundo de la paradoja de Russell. Si está interesado en aprender más sobre el lado humano de esta historia, le recomiendo Logicomix.

La paradoja de Russell resulta estar estrechamente relacionada con el teorema de Cantor, los teoremas de incompletitud de Gödel, el problema de detención y el combinador Y (http://en.wikipedia.org/wiki/Fix…), aunque la conexión precisa es difícil de establecer en términos simples.

¿Qué es un conjunto o colección?

Entonces, en primer lugar, surge como resultado de tratar de aclarar la idea de un conjunto o colección. La idea de que puedes tener clubes y tener miembros de ellos, por ejemplo. O puedes tener un cubo con cosas dentro. Pero, en general, también cuando comienzas a razonar, por ejemplo, sobre las montañas, entonces no tienes que pensar de esta manera, pero es bastante natural extrapolar a un nivel más abstracto y pensar en todas las montañas. O todas las montañas reales en la Tierra, o más generalmente incluso sobre todas las montañas posibles.

Entonces, la idea es: ¿podemos hacer que esta idea de un conjunto o colección de cosas sea lógicamente precisa? ¿Podemos hacerlo tan preciso que siempre sepas exactamente lo que alguien quiere decir cuando habla de una colección de cosas?

Bueno, si hacemos que la idea sea tan precisa como esa, lo suficientemente precisa incluso para los lógicos, tenemos que decir cómo entendemos cualquier pregunta que alguien pueda hacer sobre estas colecciones.

Los matemáticos y lógicos generalmente los llaman conjuntos, así que usemos la palabra “conjunto” aquí para nuestra nueva palabra lógicamente precisa para una colección con miembros.

POR QUÉ NECESITAMOS SETS, O ALGO COMO ELLOS

Creo que un buen ejemplo de este concepto en el uso ordinario es un equipo de fútbol. O cualquier otro equipo o club.

Nadie confundiría un equipo de fútbol con un futbolista, por lo que necesitamos la idea de una colección de futbolistas que de alguna manera sea diferente de un futbolista individual.

Y luego también querrás hablar sobre conjuntos de conjuntos. Por ejemplo, equipos de fútbol de primera división. ¿La Premier League es un equipo de fútbol? ¿Es un futbolista? Seguramente no. Entonces, es algo nuevo, y parece más natural entenderlo como un conjunto de futbolistas.

Por lo tanto, es natural tener jerarquías de conjuntos como ese también en el lenguaje ordinario. Por supuesto, en matemáticas se vuelve mucho más elaborado, pero ya tenemos sus comienzos en un lenguaje ordinario y algunas cosas serían casi imposibles de decir si no pudiéramos hablar sobre conjuntos de conjuntos.

Entonces, estamos en el territorio donde puede hacer preguntas sobre estos conjuntos.

¿ES EL CONJUNTO DE NARANJAS UNA NARANJA?

Entonces, por ejemplo, para el conjunto de naranjas, nunca preguntarías esto en una conversación ordinaria, lo sé, pero ¿es el conjunto de todas las naranjas en sí mismo una naranja?

Azahar y naranjas, foto de Ellen Levy Finch

Los miembros del conjunto de todas las naranjas son, por supuesto, naranjas, pero ¿qué pasa con el conjunto de todas ellas?

Si el conjunto de todas las naranjas fuera una naranja, podría comerlo (y qué sucede con su lógica después de que alguien se come el conjunto de todas las naranjas 🙂).

Si el conjunto de todas las montañas fuera en sí una montaña, sería capaz de responder preguntas como “¿dónde está ubicado, y cuánto tiempo lleva escalarlo y cuál es la ruta más fácil hacia su cima?”.

Puede hacer esas preguntas sobre montañas individuales pero no sobre el conjunto de todas las montañas, por lo que no parece posible construir una lógica donde el conjunto de todas las naranjas es una naranja o el conjunto de todas las montañas es una montaña.

Y, de hecho, debe crear conjuntos bastante artificiales para obtener uno que sea miembro de sí mismo de acuerdo con interpretaciones lógicas razonablemente convincentes de la lógica ingenua de conjuntos y colecciones.

¿ES EL CONJUNTO DE CONCEPTOS ABSTRACTOS UN CONCEPTO ABSTRACTO?

Disolución de la naturaleza en conceptos abstractos en el arte de Mondrian:

El manzano floreciente

Muelle y océano

Cuadro No. IV

Ver Piet Mondrian

En el arte, la música, la escritura, observamos varias formas de abstracción de las cosas. Muchas abstracciones particulares.

Pero, ¿qué sucede si vas hasta el final y consideras el conjunto de todos los conceptos abstractos? ¿Qué pasa si reunimos todas estas ideas de abstracción que alguien ha ideado o podría haber ideado alguna vez?

¿Es eso en sí mismo un concepto abstracto? Si es así, entonces es un miembro de sí mismo, en la ingenua teoría de conjuntos.

Para que el conjunto de todos los conceptos abstractos no sea miembro de sí mismo, tendría que decir que el conjunto de todos los conceptos abstractos no es un concepto abstracto que suena paradójico.

Por lo tanto, puede encontrar conjuntos que son miembros de sí mismos en la ingenua teoría de conjuntos, pero no son tan comunes y es bastante difícil encontrar buenos ejemplos, ese es uno de los mejores.

LA PARADOJA DE RUSSELL

La paradoja de Russell se aplica sin importar si piensas que casi ningún conjunto es miembro de sí mismo, o incluso que ninguno lo es, o que casi todos los conjuntos lo son.

No importa lo que pienses allí.

Tal como lo hicimos con el conjunto de todos los conceptos abstractos, ahora que tenemos esta idea de un conjunto o colección, tiene sentido hablar sobre el “conjunto de todos los conjuntos”.

Este conjunto incluiría a todos los equipos de fútbol. Pero también la primera liga. También todos los equipos de hockey sobre hielo. Todos los equipos olímpicos. Todos los clubes, todas las naciones.

Incluso conjuntos temporales, por ejemplo, la colección de todas las personas que caminan por una calle en particular en un momento particular. Todas las formas posibles de seleccionar átomos de nuestro universo. Una y otra vez, todos los conjuntos posibles, físicos o abstractos.

O como matemático, podría decidir restringirlo a nociones puramente matemáticas. Por ejemplo, conjuntos de números, por lo que incluye todos los conjuntos finitos como

{1, 2, 3} o {5, 717} o lo que sea.

Además, digamos, el conjunto de todas las líneas, caras y vértices de un cubo, octaedro, dodecaedro, etc.

Comparación de icosaedro truncado y balón de fútbol

Entre todos los muchos conjuntos de matemáticas, puede describir un icosaedro truncado como un conjunto de aristas, caras y vértices.

Además de todos esos conjuntos finitos, para hacer una teoría de conjuntos de todas las matemáticas, también necesita todos los conjuntos infinitos, por ejemplo, el conjunto de todos los números pares, todos los números impares, todos los números primos, etc. – infinitas formas diferentes de elegir un conjunto infinito de números.

Y así sucesivamente, muchos otros conjuntos matemáticos.

Al principio todo parece estar bien, hablas del conjunto de todos los conjuntos, y es natural decir que, al igual que los conceptos abstractos, el conjunto de todos los conjuntos es en sí mismo un conjunto.

Y Frege, por supuesto, pasó años de su vida construyendo un enfoque lógico para establecer la teoría en esa suposición. Su objetivo era hacer una teoría donde todo en matemáticas se pueda describir usando conjuntos.

EL CONJUNTO DE RUSSELL DE TODOS LOS CONJUNTOS QUE NO SON MIEMBROS DE SÍ MISMOS

Pero luego aparece Russell y le pide a Frege que mire el “conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos”.

Entonces, según nuestro razonamiento acerca de que un conjunto de naranjas no es naranja, la mayoría de los conjuntos no son miembros de sí mismos, por lo que esto los califica como miembros de su nuevo conjunto.

Entonces, ingenuamente (una vez que lo haya pensado durante un tiempo) la suposición natural sería que este nuevo conjunto consta de casi todos los conjuntos, tal vez incluso todos los conjuntos, excepto el conjunto de todos los conjuntos en sí. No hay problema hasta ahora.

Pero entonces, usted hace su pregunta “¿Es esto un miembro de sí mismo”?

Si Russell hubiera preguntado si su nuevo conjunto era miembro del conjunto de todos los conjuntos, sería fácil: solo responda “sí”, esa sería la respuesta ingenua.

Pero en cambio, preguntó, la pregunta más sutil, ¿es un miembro de sí mismo?

Si es un miembro de sí mismo, bueno, por definición, consiste en todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Entonces, si es un miembro de sí mismo, tiene que ser uno de los conjuntos que no son miembros de sí mismos, entonces eso significa que no es miembro de sí mismo.

Y si no es miembro de sí mismo, entonces esta propiedad de no ser miembro de sí mismo lo califica inmediatamente para la membresía.

Así que sigues dando vueltas y vueltas en círculos como ese. Si es un miembro de sí mismo, no lo es. Y si no es un miembro de sí mismo, entonces lo es.

Entonces te queda una paradoja. Esta es una paradoja de lógica que obtienes si intentas escribir los supuestos de la teoría ingenua de conjuntos en declaraciones lógicas claras.

NUESTROS CONCEPTOS FUZZY

La cosa es que comenzamos con estos conceptos borrosos donde identificamos cosas como de tipos particulares, etc. Por ejemplo, creemos que sabemos qué es un plátano o una naranja. Y no puedes hacer matemática rigurosamente a ese nivel, te encuentras con todo tipo de problemas.

Esta idea de que necesita rigor y precisión lógica en matemáticas comenzó con los axiomas de geometría de Euclides, y se desarrolló gradualmente a través de muchos otros axiomas y sistemas de razonamiento. Llegó a su punto culminante a fines del siglo XIX, en realidad en el estudio de problemas físicos como el flujo de calor en los metales, donde los matemáticos descubrieron que los conceptos que estaban usando hasta ahora conducen a muchas paradojas. Cosas que parecían no tener sentido y, finalmente, contradicciones directas. Entonces necesitaban alguna forma de hacer que sus ideas fueran más precisas.

Por lo tanto, debe definir sus conceptos con precisión lógica y matemática.

Y una forma de hacerlo es utilizar la idea de un conjunto y membresía, que es lo que los matemáticos suelen encontrar más útil. Entonces, si hace eso, debe definir claramente qué se entiende por un conjunto y qué se entiende por membresía.

Puede haber otras formas de aclarar conceptos. No tiene que tomar set y membresía como fundamental.

Puede pensar en términos de predicados, por ejemplo: una naranja es algo redondo, crece en un tipo particular de árbol, tiene un sabor dulce, tiene una corteza gruesa, etc., pero de una forma u otra aún encuentra que ha marcado un determinado colección de objetos como instancias de su concepto y otros como no.

Y luego una naranja es algo que satisface todos esos predicados. Pero la dulzura no es una naranja, es una cualidad de las naranjas. (Y como filósofos, uno puede discutir interminablemente sobre lo que esto significa exactamente)

Entonces, una vez que llegue tan lejos, terminará con algo que parece conjuntos y membresía de una manera u otra. Y luego, una vez que haces eso, surge la paradoja de Russell.

Para evitarlo, necesitará un lenguaje que no divida las cosas en colecciones como esa, lo que es bastante difícil de imaginar cómo funcionaría.

¿QUÉ SUCEDE SI IR POR EL OTRO CAMINO Y TRATAR DE HACER QUE TODOS LOS JUEGOS MIEMBROS DE ELLOS MISMOS

Podría intentar desarrollar un lenguaje lógico donde el conjunto de todas las naranjas sea una naranja, y el conjunto de todos los plátanos sea un plátano, y un conjunto que consta de una naranja y un plátano es en sí mismo de alguna manera: una naranja con un plátano (aquí se pone un poco complicado).

Y un equipo de fútbol es un futbolista y la liga principal es un equipo de fútbol y también un futbolista.

(Excepto, tal vez para el conjunto vacío que no tiene miembros),

Podría ser posible desarrollar tal teoría. No sé, podrías intentarlo al menos.

Y luego pregunte si el conjunto de todos los conjuntos es un conjunto, y su respuesta será sí.

Pero eso no cambia nada, aún puede preguntar: “¿qué pasa con el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos?”

¿Cómo puede este conjunto ser miembro de sí mismo, cuando la característica definitoria necesaria para la membresía es que no es miembro de sí mismo?

Tal vez intente hacer de este un caso excepcional en su teoría: este es el único conjunto que no es miembro de sí mismo

Pero si no es un miembro de sí mismo, entonces eso lo califica inmediatamente para ser un miembro de sí mismo, por lo que tiene que ser un miembro de sí mismo.

Entonces todavía te enfrentas a la paradoja de Russell.

Parece claro que no hay forma de evitarlo en una teoría ingenua que tiene una noción de conjunto y membresía, excepto para restringir su razonamiento de alguna manera.

DESACTIVANDO LA PREGUNTA

Una forma de evitarlo, bastante natural, es decir que simplemente no se puede preguntar si el conjunto de todas las naranjas es una naranja. Eso suena bastante razonable. Tal vez es una pregunta sin sentido, ¿y por eso nos metimos en problemas?

Esa fue la solución de Russell en su teoría de tipos. Esto funciona pero es bastante engorroso. Porque a medida que sigas las implicaciones, encontrarás que debes tener un número infinito de capas de tipos, para evitar la paradoja.

O podría buscar una forma de desarrollar una lógica que no tenga ninguna noción de membresía o conjunto incorporado, y encontrar algún otro concepto primitivo en su lugar.

Pero si es así, ¿qué? Hay muchas áreas del discurso en las que podemos pasar sin mucho uso de conjuntos y colecciones. Pero a veces los necesitamos.

¿Cómo vas a hablar sobre los equipos de fútbol y futbolistas y la liga principal sin usar el concepto de pertenencia a un grupo?

Y una vez que hayas llegado a definir la membresía, incluso si no es un concepto primitivo de tu teoría, entonces si simplemente “sigues tu nariz” con ideas ingenuas, no estás lejos de definir el conjunto de todos los conjuntos y razonar sobre eso. En poco tiempo terminas con la paradoja de Russell.

Esto surge aún más en matemáticas donde se necesitan ideas similares todo el tiempo.

FORMAS ESTÁNDAR ALREDEDOR

La forma estándar de evitarlo es restringir su razonamiento lógico formal de alguna manera para que no pueda discutir esta cuestión en su teoría.

El enfoque más común es decir que no se puede hablar de “conjuntos” de esta manera perfectamente general. En cambio, solo puede hablar sobre tipos particulares de conjuntos, y cuando habla sobre el “conjunto de todos los conjuntos” debe introducir nuevos términos: llámelo de otra manera, por ejemplo, una clase o un conjunto de tipo 2 o lo que sea.

La teoría de los tipos de Russell fue un comienzo allí con sus infinitos tipos.

Hoy en día tenemos un enfoque más simple en el que solo hay dos tipos de colecciones: conjuntos y luego clases. Cuando se habla de clases, no pueden ser miembros de nada y las preguntas de membresía no tienen sentido. Entonces, la paradoja no surge para las clases.

No hay tal cosa en su idioma como una clase de todas las clases.
Los conjuntos pueden ser miembros de conjuntos o clases, pero tiene un sistema de axioma cuidadosamente diseñado que hace imposible construir un conjunto de todos los conjuntos.

Entonces, es torpe hablar de clases en esta teoría. Pero al menos ha logrado un tratamiento lógicamente preciso y muy poderoso de los conjuntos, que cubren casi todo lo que desea hablar en matemáticas ordinarias. Y solo vives con esta leve incomodidad cuando se trata de clases.

LÓGICA DE QUINE – LA PREGUNTA DE RUSSELL SE “PERDIDA EN LA TRADUCCIÓN”

Otro enfoque menos común es permitir que el conjunto de todos los conjuntos sea miembro de sí mismo y restringir su razonamiento lógico de otras maneras, restringir el lenguaje que utiliza para construir conjuntos de modo que la declaración “conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de ellos mismos “no se pueden decir en su idioma, esa es la solución de Quine en sus” nuevas bases “.

En la lógica de Quine, ser “un miembro de sí mismo” no es un concepto significativo en su lógica. Tiene el requisito de que todas las propiedades como esa tengan que ser “estratificadas”, es un requisito complicado, pero básicamente descarta las propiedades que relacionan un conjunto directamente con la membresía.

Por lo tanto, simplemente no puede discutir conjuntos y si son miembros de sí mismos o no en su teoría en absoluto. Cualquier pregunta como esa se “pierde en la traducción” cuando intentas hacerla. Entonces, la pregunta de Russell no se puede hacer para que no surja la paradoja.

En cierto modo, la solución de Quine está más cerca de la teoría intuitiva de conjuntos, ya que le permite tener un conjunto de todos los conjuntos, que es un conjunto. Hablemos del “conjunto de todos los conjuntos” con el mismo lenguaje que los conjuntos más comunes.

Pero de una forma u otra tiene que restringir lo que se le permite hablar en su lenguaje lógico que utiliza para razonar sobre conjuntos, o restringir la interpretación de la palabra “conjunto”, o se topa con la paradoja de Russell.

AUNQUE PODEMOS RESOLVERLO, NUESTRAS SOLUCIONES SE CONTRATAN

Hasta Frege, nadie desarrolló una teoría para usar como base para la lógica que evitó la paradoja de Russell.

Ahora podemos evitarlo en retrospectiva. Pero no es fácil. ¿Por qué nadie se le ocurrió ninguna de estas ideas hasta principios del siglo XX?

Por lo general, parece al menos un poco artificial, como si obviamente hubieran restringido el lenguaje para evitar la paradoja.

¿Porqué es eso? Este no es un problema solo para las matemáticas, sino también para todos los intentos de formalizar la lógica intuitiva cada vez que la usamos para razonar sobre colecciones de cosas.

A veces, los defensores de diversas formas argumentan que su solución es natural.

Por ejemplo, los defensores del enfoque de Quine pueden decir que filosóficamente es más natural. Pero entonces, si eso es lo que piensas, todavía te enfrentas a la pregunta, si es tan natural, ¿por qué necesitamos que Russell señale su paradoja primero antes de que alguien se le ocurra una forma de pensar sobre los conjuntos que lo evitan?

Se basa en ideas simples. Si es tan natural, ¿por qué ningún filósofo en toda la historia de las civilizaciones humanas antes de la paradoja de Russell ideó el enfoque de Quine o algo similar?

¿POR QUÉ NADIE PENSÓ ANTES DE LA PARADOJA DE RUSSELL ANTES?

Creo que esto también es una curiosidad.

Esta paradoja es tan simple de enunciar y utiliza un concepto básico con el que todos están familiarizados: la idea de pertenecer a un grupo o colección. Incluso volviendo a los antiguos griegos y chinos, muchos de los teoremas de Euclides son mucho más complejos que esto. O más tarde, los matemáticos y filósofos indios y árabes. Desarrollaron muchas cadenas intrincadas de razonamiento lógico, pero no esta.

Y ni siquiera necesita el concepto de cero, o números negativos, o razones o cualquiera de los nuevos conceptos de las matemáticas modernas para comprenderlo.

Bien puede ser la cadena de razonamiento lógico puramente más simple y genuinamente nueva que se desarrolló en los tiempos modernos, una que fue ignorada por todos hasta 1901 cuando Russell se le ocurrió la paradoja.

Entonces, ¿por qué algunos de los antiguos matemáticos o filósofos no pensaron en esto? Incluso los matemáticos del siglo XIX, se les ocurrieron muchas ideas elaboradas sobre conjuntos, y varias paradojas muy complicadas para enunciar, y trabajaron continuamente en estas ideas durante años en el caso de Frege y Cantor, pero por alguna razón nunca se les ocurrió esta.

Sabemos que es posible que los humanos pierdan conceptos simples. Durante miles de años, civilizaciones enteras aumentaron y disminuyeron sin desarrollar la idea moderna de un número negativo, por ejemplo. Hasta la edad media, los matemáticos tratarían lo que ahora consideramos una ecuación única (por ejemplo, la ecuación cuadrática) como varios casos diferentes, porque no tenían el concepto de números negativos en el sentido moderno.

Y lo mismo para la noción de cero para la notación posicional. O proporciones con números arbitrarios en la parte superior e inferior (por ejemplo, los babilonios tenían “fracciones unitarias” con el requisito de que el número superior en la fracción tenía que ser 1, e hicieron una aritmética torpe donde todo tenía que expresarse en fracciones unitarias).

Entonces, ¿quizás es un ejemplo de esto? Y si es así, no puedo evitar preguntarme, ¿quedan otros conceptos realmente simples que aún no hayamos pensado?

Me pregunto, ya que seguramente hay muchas ideas en las que aún no hemos pensado: ¿qué tan simple es el concepto más simple que aún no hemos pensado?

No hay forma de responder eso, supongo.

Bill Crean

¿Que color es este? Espera … antes de responder esto, intentemos algunas paradojas semánticas más como esta.

Verdadero o falso: esta oración es falsa.

Ahora, así es como te presentarán la paradoja de Russell.

“Es el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos un miembro de sí mismo”.

permítanme usar la popular versión de Grellling y Nelson para explicar esto (como ya lo señaló Joshua Engel en su respuesta, solo extendiéndola): hay dos tipos de palabras (conjuntos), los autológicos son aquellos que se refieren a sí mismos y los heterológicos son los que no. Por ejemplo: Corto es autológico ( la palabra es corta ) donde largo ( la palabra no es larga ) es heterológico. Polysyllable es del primer conjunto donde Monosyllable es de este último. Al igual que estos, diecisiete letras (sí , cuenta conmigo por favor ) y una letra ( no es necesario contar, ¿verdad? ) También se colocan en los conjuntos respectivos. Ahora, por la paradoja de Russell, el conjunto heterológico tiene palabras como Monosílabo, largo, con una letra, etc., pero ¿es la palabra (conjunto) heterológica en sí misma un heterológico? Si es autológico, entonces es heterológico y de otra manera, si es heterológico, entonces es autológico. Eso es lo que Russell planteó en su paradoja. Existe esta paradoja de Barber, que es la deducción más popular de Russell para los laicos (: P)

En palabras finales, de cualquier manera un conjunto intenta falsificar la existencia de otro conjunto, por lo que dicho conjunto ( el conjunto favorito del gran Russel ) resulta ser un conjunto nulo, es decir, no existe. Para ser más plausible, una analogía más ( esta es la última, lo prometo ), puede guardar muchas cosas (además de la ropa) en su armario, pero una cosa que no puede guardar dentro es el armario en sí. * risitas y suspiros * Así que de vuelta a la cima,

– ¿que color es este? Adivina, lo tienes 😉

PD: Russell probablemente quería probar la inexistencia de tales conjuntos y, por lo tanto, al usar esta contradicción, intenta explicar que tal conjunto no se encuentra (bueno, al menos eso es lo que supongo).

Alex Suchman

Algunas palabras se describen a sí mismas, como “polisilábico”. Algunas palabras no se describen a sí mismas, como “monosilábico”.

Llamemos a una palabra que no se describe a sí misma como “Russellian”.

¿Es “Russellian” Russellian? Si es así, no lo es, y si no lo es, es …

Esto, en pocas palabras, es la paradoja de Russell.

Dan Christensen

Ya sabes, hoy tenemos millones de libros. Necesitamos un mecanismo para encontrar el libro que queremos. Por lo tanto, creamos catálogos donde agrupamos los libros de acuerdo con su nombre, género, tema, etc. Por ejemplo, puede haber un catálogo que contenga libros sobre matemáticas o tal vez otro catálogo que contenga libros sobre ciencias. Una gente interesante puede querer leer libros cuyo nombre comience con la letra ‘B’. No sé, puede ser un hobby de él.

Como puede ver, podemos agrupar libros en términos de muchas cosas diferentes como tema, nombre, escritor, etc. Como resultado, también terminamos muchos catálogos. En este punto necesitamos un catálogo de catálogos. ¿Por qué? Porque no me importan los catálogos que contienen libros cuyo nombre comienza con la letra ‘B’. No quiero perder el tiempo mirando ese catálogo. Entonces, quiero un catálogo que contenga catálogos donde los libros se agrupen de acuerdo con su tema, no con su nombre.

En este punto, pensemos en un catálogo C cuyo nombre es “Catálogo de catálogos cuyo nombre comienza con C”.

La pregunta es:
¿Debe este catálogo contenerse a sí mismo?
Responder:
Por supuesto, porque el nombre de este catálogo comienza con ‘C’ también.

Bien, ahora tenemos otra propiedad para agrupar catálogos además de su nombre
tema etc. Es propiedad de contenerse. Por ejemplo, podemos hacer un catálogo de catálogos que se contiene a sí mismo y el catálogo C debe estar en este catálogo porque se contiene a sí mismo.

Golpe final:

Ahora consideremos el catálogo de catálogos que no se contiene a sí mismo. ¿Este catálogo se contiene a sí mismo?

Si es así, no debe contener, porque este catálogo es solo para el catálogo que no se contiene a sí mismo.
Si no es así, debe contener, porque este catálogo es solo para el catálogo que no se contiene a sí mismo.

Entonces tenemos nuestra paradoja.

El problema es que no tenemos ninguna regla para crear catálogos. Básicamente suponemos que podemos hacer catálogos de lo que queramos, esto causa problemas. En el pasado, pensamos que podíamos hacer un conjunto de cualquier cosa, lo que causa el mismo problema con los catálogos (piense en el conjunto de conjuntos). Así que hoy tenemos una regla muy importante para establecer:

Los elementos del conjunto deben estar bien definidos.

Esto nos salva de esta paradoja.

Bill Crean

Alrededor de 1900, Georg Cantor intentó enumerar todas las propiedades esenciales de las cosas que llamamos “conjuntos”. Una de esas propiedades, la propiedad de la comprensión sin restricciones (UC), era que, para demostrar que existía un conjunto [matemática] S [/ matemática], todo lo que tenía que hacer era definir alguna propiedad [matemática] P [/ matemática] tal que, para todos [math] x, x \ en S [/ math] si y solo si [math] x [/ math] tiene la propiedad [math] P [/ math]. Todo el sistema se bloqueó cuando [math] P [/ math] era la propiedad que [math] x \ notin x [/ math]. Entonces podría probar usando UC que:

(1) Existe un conjunto S tal que, para todas [matemáticas] x, x \ en S \ iff x \ notin x [/ matemáticas].

y, usando la lógica ordinaria, podríamos demostrar todo lo contrario, a saber, que:

(2) No existe un conjunto S tal que, para todas [matemáticas] x, x \ en S \ iff x \ notin x [/ matemáticas]

Obtenemos (2) sustituyendo [math] x = S [/ math] en (1) y obteniendo la contradicción [math] S \ in S \ iff S \ notin S [/ math]. Como (1) conduce a una contradicción, (1) también debe ser falso (prueba por contradicción).

Entonces, el sistema de Cantor tuvo que ser reparado para evitar esta contradicción. Se consideraron varios parches, el más popular hoy en día son los axiomas de Zermelo Fraenkel de la teoría de conjuntos.

Dan Christensen

Una mochila es algo que la gente puede usar para almacenar cosas. Digamos también que algunas mochilas (presumiblemente grandes) pueden almacenar otras mochilas.

Afirmo que tengo una súper mochila que contiene todas las mochilas que no se contienen. En otras palabras, puedo meter la mano en mi mochila y encontrar una mochila que contenga una pelota de baloncesto, una mochila que contenga una botella de agua y un iPhone, y una mochila que almacena dos mochilas que contienen un perro y un gato. Si es una mochila y no se almacena sola, puedes encontrarla en algún lugar de mi súper mochila.

¡Pero espera! ¿Mi súper mochila se contiene a sí misma? Digamos que no. Afirmé que mi mochila contiene todas las mochilas que no se contienen, pero aparentemente me perdí una (es decir, mi súper mochila), ¡así que debo estar mintiendo! Ok, ¿y si mi súper mochila se contiene? Luego estoy almacenando una mochila que se contiene, ¡lo cual dije que no haría! Todavía estoy mintiendo!

Dado que mi supuesta súper mochila no puede contener ni contener a sí misma, no puede existir.

Dan Christensen

Bertrand Russell estaba equivocado. Frege tenía razón.

Mostraré que las paradojas de Russell son factibles utilizando esferas de colores y filtros ópticos.

Cuando una esfera ubicada debajo de dos filtros especiales se verá azul o roja. Esto se considerará como el color de la esfera. Cuando la esfera no esté debajo de estos filtros, se considerará incolora. Convencionalmente, el filtro derecho corresponderá a los conjuntos que son miembros de sí mismos (azul) y el filtro izquierdo a los conjuntos que no son miembros de sí mismos (rojo).

Distinguimos cuatro casos:

1. Un conjunto que es miembro de sí mismo:

2. Un conjunto que no es miembro de sí mismo:

3. Un conjunto que es miembro de sí mismo cuando se lo considera miembro de sí mismo y no es miembro de sí mismo cuando no se lo considera miembro de sí mismo:

4. Un conjunto que es miembro de sí mismo cuando no se lo considera miembro de sí mismo y no es miembro de sí mismo cuando se lo considera miembro de sí mismo (la paradoja de Russell):

Paradójicamente, el caso 3 no se considera paradójico: en 1963, Paul Cohen lo usó. En respuesta al primer problema de Hilbert, demostró que la hipótesis del continuo y el axioma de elección son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel. Todavía es discutible si este efecto es correcto.

Los casos 1 y 2 están asociados, lo mismo es cierto para los casos 3 y 4. Pero la comunidad matemática dice que no a 4. Es como aceptar los números +1, -1 e i, pero no el -i. Esto tiene consecuencias. En matemáticas, no siempre podemos excluir que no está de acuerdo con nuestras creencias.

Editar:

Veremos cómo funciona esto con un ejemplo.

Supongamos que la esfera sin color representa el conjunto de todos los conjuntos que son miembros de sí mismos. Llamémoslo H.

Hay dos situaciones posibles:

(I) Si H es un miembro de H, la esfera será azul.

(II) Si H no es miembro de H, la esfera será roja.

Podemos ver en qué condición se encuentra H solo cuando suponemos que está en estado (I) o (II), como un hecho. Estas pruebas se llevan a cabo independientemente entre sí (con criterios razonables). Esto significa que el resultado de cada prueba no determina el resultado de la otra.

Realizamos la prueba (I) con el filtro correcto. Como no hay motivos para la objeción, la esfera se verá azul.

Realizamos la prueba (II) con el filtro izquierdo. Nuevamente, debido a que no hay motivos para la objeción, la esfera se verá roja.

Por lo tanto, el conjunto H corresponde al caso 3. Y es paradójico porque H es y no es miembro de H. No nos parece paradójico porque pensamos que decidimos al respecto, pero es una propiedad inherente de todo H Así que está indeciso.

En los casos habituales 1 y 2, los conjuntos están en el estado (I) o (II). En los casos 3 y 4, están en estado (I) y (II). La diferencia entre los casos 3 y 4 es que en el segundo el resultado es opuesto al supuesto que hacemos. Sin embargo, todos los casos son realidades matemáticas que complementan los estados binarios 00, 01, 10 y 11.

Russell encontró algo similar a [math] \ sqrt {-1} [/ math] en el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de ellos, lo vio como un problema y trató de eliminarlo. Y arrastró a Frege a esta noción, que mientras tanto había hecho un muy buen trabajo en la teoría de conjuntos. Cohen y Gödel lo vieron como una solución a los problemas que enfrentaron para responder de manera impresionante a los primeros dos problemas de Hilbert.

Si queremos una teoría adaptada a nuestros criterios intuitivos, no nos beneficiaremos mucho de ella. Esta es la razón por la cual las teorías de conjuntos convencionales hasta ahora no han proporcionado nada impresionante desde el momento de su creación, a diferencia de otras disciplinas matemáticas.

Alex Suchman

Creo que la Enciclopedia de Filosofía de Stanford ofrece una descripción clara y concisa de la Paradoja de Russell en dos párrafos cortos de la siguiente manera:

“La paradoja de Russell es la más famosa de las paradojas lógicas o teóricas de conjuntos. También conocida como la paradoja de Russell-Zermelo, la paradoja surge dentro de la teoría de conjuntos ingenua al considerar el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Tal conjunto aparece ser miembro de sí mismo si y solo si no lo es, de ahí la paradoja.

“Algunos conjuntos, como el conjunto de todas las tazas de té, no son miembros de sí mismos. Otros conjuntos, como el conjunto de todas las tazas de té, son miembros de sí mismos. Llame al conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos” R . ”Si R es un miembro de sí mismo, entonces, por definición, no debe ser un miembro de sí mismo. De manera similar, si R no es un miembro de sí mismo, entonces, por definición, debe ser un miembro de sí mismo”.

Tenga en cuenta que hay una falla lógica al equiparar dos membresías diferentes como resultado de la abstracción matemática en el segundo párrafo allí. La membresía A es la membresía de los conjuntos, es decir, ser tazas de té. La membresía B es la membresía del conjunto por definición, es decir, la membresía matemática solamente. Los dos son diferentes en propiedades o significados. En otras palabras, la paradoja de Russell no existe en el mundo real.

Russell dijo una vez: “Las matemáticas son el arquetipo del universo”. En otras palabras, las matemáticas son metafísicas, sobrenaturales. Es una construcción humana que no existe en la realidad. La matemática es la ciencia de los números. Solo hay un número real, que es 1, en realidad. El número 2 y todos los demás números son abstracción de la similitud, no real. Todo es 1, único en este universo. Nada es idéntico No hay estrellas idénticas en el cosmos; no hay humanos idénticos donde podamos ver y contar; y podemos inferir con seguridad que no hay electrones o fotones idénticos en el micromundo donde no podemos ver a escala. El mismo Russell dijo: “¿Cuál es la duplicidad del número 2?”

En la analogía del barbero afeitado, el barbero o cualquiera de sus clientes no son iguales o idénticos, es decir, comparten la misma membresía como se define en la teoría de conjuntos. Por lo tanto, la regla lógica de “afeitarse a cualquiera que no se afeite a sí mismo” no se aplica al barbero, ya que cualquiera es diferente y único en la realidad.

Qiaochu Yuan

Considere el libro Books in Print . ¿ Libros en la lista de impresión en sí?

Sí, porque es un libro impreso. Usted puede comprobarlo.

Considere la lista Listas que se enumeran a sí mismos . ¿Se enumera a sí mismo? En principio debería.

Sin embargo, ahora considere las listas de listas que no se enumeran a sí mismas . ¿Se enumera a sí mismo?

Ahora tenemos un problema.

Joshua Engel

Algunos conjuntos se contienen y otros no.

Por ejemplo:
– El conjunto de números pares no se contiene a sí mismo.
– El conjunto de todos los conjuntos se contiene a sí mismo.

Haga un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen. Haga un segundo conjunto de todos los conjuntos que se contienen. Cada conjunto es miembro de uno de estos dos conjuntos.

¿El primer grupo que hicimos es miembro del primer grupo o del segundo grupo?

(Observe que cuando digo “contener” aquí, solo estoy hablando de contención de primer nivel. Si el conjunto A contiene solo el conjunto B, y el conjunto B contiene solo el conjunto C, entonces el conjunto A NO contiene el conjunto C.)

Bill Crean

¿Bajo qué exigencias matemático-filosóficas especiales podría surgir esta paradoja? En términos simples, el sentido espacial irreductible de ‘contiene’ no permite –es “deshabilita” la autocontención. Solo si ‘contiene’ se usa vulgarmente en el sentido de ‘temporalmente sigue’ (no digo ‘lógicamente sigue’ ya que eso sería solo arena arrojada a los ojos) surgiría la autocontención, como un nombre inapropiado para ‘sigue’, y sin duda simplemente como una construcción erigida para algún propósito, lo que me devuelve a mi pregunta inicial, que realmente estoy preguntando. La respuesta probablemente recapitularía el tratamiento de Russell, por lo que un conjunto específico de referencias de página utilizables (o incluso citas) quizás también funcionaría como respuesta. Gracias.

Nick Raphael

Existen numerosos ejemplos de la paradoja de Russell. Aquí hay uno que me gusta porque es corto y simple y se ajusta a los requisitos de la pregunta. Está contenido en las palabras de una vieja canción de los años sesenta. Una línea en la canción dice: “Mi consejo para ti es que no lo hagas”.

Si la persona toma el consejo, él / ella no debería haberlo tomado, pero si él / ella no toma el consejo, entonces ellos lo han hecho.

Dije que era simple.

(Nota: la paradoja de Russell está estrechamente relacionada con la paradoja de Creta).

Joshua Engel

La prostituta del pueblo da placer a todos en el pueblo que no se complacen. ¿La ciudad se prostituye a sí misma?

Dan Christensen

More Interesting

¿Cómo respondes una pregunta que te hicieron?

¿Qué es la doble inducción y cómo encaja en el proceso de integración de ecuaciones de tipo parabólico o hiperbólico en dos variables independientes?

¿Es la declaración, “El hombre actúa a propósito” deducible a priori?

¿Cuáles son ejemplos de cosas en el “conocimiento común” sobre el conocimiento que los bibliotecarios y epistemólogos del escritorio de referencia consideran casi universalmente más fundamental?

¿Cuál es la premisa básica de la lógica difusa?