Me siento obligado a hacer una contribución a las respuestas que se ofrecen a esta pregunta. La mía se derivará en gran medida de la experiencia personal relevante que me ha dado cierta empatía por la pregunta.
Tengo una licenciatura en matemáticas y un doctorado en física. Me he sentado a través de muchas presentaciones en el aula de materias matemáticas. No me considero talentoso en matemáticas, aunque ahora soy más que suficiente competente para aplicar la comprensión matemática avanzada a los problemas de física. Y solo para poner un punto en esta recitación, sabiendo que mi asesor de doctorado, a pesar de tener algunas de las habilidades de cálculo más fluidas que he observado, tenía un desdén por las matemáticas más abstractas y evité incluso decirle algunas de las clases de matemáticas que estaba tomando a un lado.
Doy esa introducción porque siento en la pregunta una conexión con el lado oscuro de mis deficiencias personales cuando al principio busqué desarrollar suficientes habilidades matemáticas para ser creíble y experimentar algunos de los mismos sentimientos expresados por el interrogador. Por ahora, creo que realmente entiendo por qué tropecé y cómo podría haberse evitado.
Como señala el profesor Joyce, la mayoría de la enseñanza de matemáticas es rigurosa por diseño y convención. Ahora estoy a favor del rigor, probablemente por la misma razón por la que él lo defiende. Es decir, a medida que uno madura en el razonamiento matemático y cuando uno se siente cómodo al usar una gran colección de habilidades y conceptos específicos, la apreciación y la sed de rigor comienzan a aumentar, a veces dramáticamente. Quizás el interlocutor y yo tengamos experiencias en común a este respecto. Siento, al menos, que está reaccionando ante la incapacidad de seguir las pruebas per se. Ser presentado con una prueba convincente de algún teorema matemático no es efectivo como una forma de impartir una comprensión profunda de lo que está demostrando si, por alguna razón, no puede comprender fácilmente cada paso de la prueba. Tropiezas debido a la incapacidad de seguir y comprender fácilmente la prueba porque te falta la preparación y la experiencia necesarias para poder hacer eso.
Algunas de las razones clave por las que me tropecé a veces fueron (en orden aproximado de arriba hacia abajo de importancia):
1. Haber omitido un tema de requisitos previos, o al menos uno que se presume que tiene en su contexto, significa que el uso implícito o la alusión a cosas con las que se supone que está familiarizado produce una incapacidad para comunicarse de manera efectiva al entregar pruebas o derivaciones. Hay muchas formas en que esto sucede … una de las formas más estúpidas que me sucedió es que siempre fui demasiado impaciente para entrar en las habilidades matemáticas a veces esotéricas que necesitaba por alguna razón u otra y, por lo tanto, me arriesgué a saltear el curso de fondo cuando pude superarme con eso. Fue una estupidez, pero me tomó vergüenza muchas veces antes de que dejara de hacerlo.
2. No aceptar que, como dijo una vez Feynman, la persona más fácil de engañar es usted mismo. Si su opinión o percepción de que comprende las cosas lo suficientemente bien como para seguirlas no tiene justificación, entonces no reconoce que no está siguiendo una prueba o derivación porque no acepta la verdad, es que realmente no comprende las cosas que se espera que sepan y necesiten saber para absorber discusiones abstractas de ellos o pruebas y derivaciones relacionadas con ellos. En otras palabras, te engañas pensando que ya entiendes más de lo que realmente entiendes.
Nos engañamos fácilmente al pensar que entendemos algo y agravamos ese engaño al no probar nuestra comprensión hasta que nos encontramos con un examen calificado. Este problema particular puede remediarse, como señalaré a continuación.
3. Tanto el presentador como el alumno a veces no reconocen algo sobre el aprendizaje de las matemáticas y las aplicaciones descritas matemáticamente (como la física). A saber, aprender estas cosas es en parte destreza y en parte comprensión de conceptos. Los dos aspectos tienen cierta superposición, pero son distintos. Es común, y no sin mérito, que su profesor esté enfocado y enseñando conceptos. Está enfocado en aprobar el próximo examen y convertirse, en términos que comprende vagamente, en “competente” en el tema particular en el que está trabajando. La verdad es que su próximo examen puede haber sido diseñado asumiendo que comprende los conceptos subyacentes, pero la mayoría, y en algún momento todo, del examen es en realidad una prueba de las habilidades adquiridas.
Lo más importante que puede hacer para compensar esto es asegurarse de practicar haciendo muchos problemas realmente simples hasta que, literalmente, se vuelvan fáciles. Para ser realmente competitivo, debe seguir adelante y tener al menos algo de práctica para resolver problemas más desafiantes que involucren los mismos elementos utilizados en los simples. Sin embargo, la verdad es que si el tiempo es limitado y todo lo que hace es asegurarse de que puede resolver cualquier problema básico con rapidez y confianza, a menudo puede hacerlo lo suficientemente bien con la mayoría de los problemas en un examen típico. La alternativa es el fracaso total.
Este factor está directamente relacionado con lo que sucede cuando el profesor realiza una derivación o prueba. Por lo general, las pruebas son una serie de pasos simples ingeniosamente elaborados, aunque a veces también hay saltos brillantes de información. Si, debido a la falta de habilidad adquirida para resolver problemas simples de manera rápida y segura, tiene que meditar incluso los pasos más simples en una prueba o derivación, la presentación lo perderá rápidamente, simplemente no puede seguir el ritmo incluso con los pasos simples. Esos pasos simples deberían parecerle familiares y debería poder comprenderlos casi sin esfuerzo. Si no puede hacerlo, probablemente significa que no realizó un ejercicio suficiente en un curso anterior o en las etapas anteriores del presente. El ejercicio que necesitabas hacer era trabajar para dominar los problemas más simples que ilustran los conceptos que el profesor quiere que aprendas.
La repetición desarrolla habilidades arraigadas en matemáticas, deportes y la vida. Los conceptos reflejan una capacidad desarrollada para ver abstracciones y generalizaciones, y la capacidad de pensar de esa manera a menudo se desarrolla lentamente y, para muchas personas, solo si está precedida de haber adquirido familiaridad con escenarios de problemas comunes que solo el ejercicio puede proporcionar.
4. En gran medida, la prueba matemática depende de un conjunto de habilidades propio. Su profesor de matemáticas obtuvo un doctorado al aprender a probar cosas y al estudiar cómo lo han hecho otros. Es fácil y familiar para él / ella la mayor parte del tiempo. Ser un matemático profesional significa esencialmente ser hábil para probar cosas.
Si desea obtener una ventaja sobre la posibilidad de seguir una derivación o prueba, querrá tomar algunos cursos auxiliares en lógica simbólica, cálculo de predicados, y si lo ofrecen, algún curso que se centre en la prueba matemática per se, que incluye libremente la geometría.
Por cierto, recomendaría tomar un curso de álgebra lineal. La razón es que el álgebra lineal es (a) más útil de lo que alguna vez imaginaste antes, pero (b) es uno de los temas más amigables con el propósito de desarrollar alguna habilidad real en la prueba matemática. Parece funcionar porque hay muchas ideas muy simples presentadas usando una notación que se vuelve omnipresente más tarde y tiene pruebas que a menudo son notablemente fáciles. Recuerdo incluso ahora que ese curso fue un punto de inflexión en mi confianza en mí mismo al tratar con matemáticas y física más esotéricas. Resulta que una gran cantidad de mecánica cuántica es, en la práctica, solo un uso directo del álgebra lineal, aunque utilizando una notación práctica que se adapta a la que usan los matemáticos.
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Espero que esto ayude.
