¿Qué significa el teorema de incompletitud de Godel y cómo se puede generalizar para hacer afirmaciones epistemológicas sobre cuánto o cuán poco los humanos pueden esperar comprender sobre la realidad?

Answer 1

Los teoremas de Godel (hay dos grandes) son sobre sistemas matemáticos formales. En esencia, juntos, afirman que ningún sistema formal es consistente (es decir, incapaz de generar una contradicción) y completo (es decir, capaz de demostrar toda la aritmética básica).

O, en otras palabras, siempre hay algunos teoremas que son verdaderos, pero no demostrables.

Este es un famoso teorema por al menos un par de razones:
1. Es muy contra-intuitivo; varias personas, en ese momento, intentaban crear exactamente este tipo de sistema formal y nadie pensó que no sería posible.

2. Responde a uno de los problemas planteados por Hilbert, aunque solo sea diciendo que no hay respuesta

3. Lo hace de una manera que, despojado de su formalidad y tecnicismo necesarios, es asombrosamente brillante.

Pero no dice nada sobre nada más.

Para un libro realmente hermoso sobre Godel y sus teoremas, recomiendo Incompleteness de Rebecca Goldstein. Para una visión más prosaica de solo los teoremas, recomiendo la Prueba de Godel de Nagel y Newman.

Answer 2

Parece que hay algo de confusión aquí.

Los teoremas de Gödel fueron profundos e impactantes en el contexto de las matemáticas de finales del siglo XIX. Demostraron que los lenguajes formales suficientemente complicados admiten declaraciones que no pueden demostrarse como verdaderas o falsas basadas en conjuntos finitos de deducciones de axiomas que se consideran verdaderas.

Pocos habrían expresado la creencia de que tales ideas eran correctas, a comienzos del siglo XX. Los teoremas muestran además que la consistencia y la integridad de los axiomas no pueden demostrarse dentro de tales lenguajes formales.

Pero estos resultados no se generalizan a la “epistemología”. Tampoco arrojan mucha luz sobre cuáles pueden ser los límites últimos en la comprensión humana de la realidad.

Existe un gran abismo entre el lenguaje formal y el lenguaje natural, hay una gran diferencia entre el estudio de los valores de verdad en ciertos sistemas axiomáticos formales y el uso del lenguaje natural en la ciencia. Las representaciones simbólicas no son idénticas al mundo.

La ciencia es esencialmente de naturaleza pragmática. Utiliza técnicas de las matemáticas, pero su prueba, si se puede usar una palabra así, siempre se basa en lo bien que lo hace pragmáticamente. Probar algo en ciencia tiene el viejo significado de “probar” que es “probar”, probar algo es probar algo en ciencia.

En resumen, la ciencia tiene como objetivo vivir en el mundo, aunque en las áreas más abstractas y teóricas a veces tiene más que ver con la continuación de esa tarea en reinos que tienen poca aplicación práctica hasta donde nadie puede imaginar.

Entonces, por favor, no dejemos que los teoremas de Gödel se vuelvan salvajes en el mundo, causando estragos, sin importar cuán profundos sean.

Alguien, por favor atraparlos, y ponerlos de nuevo en su jaula!

Answer 3

No. Los teoremas de Godel se aplican a los sistemas formales. Es interesante que la ‘incompletitud’ pueda considerarse como ‘un lugar para la informalidad’ o incluso ‘un lugar que requiere inteligencia en otro orden’. La incompletitud de los sistemas formales parece implicar que un observador inteligente está enredado en ellos.

Pero ningún teorema puede subsumir la mente humana o la realidad. Ninguno de los dos existe en estados estáticos, sino que son potenciales. Nunca se colapsarán con teoremas o conceptos entregables. De hecho, esos son un aspecto bastante modesto (en realidad minuto) de su naturaleza.

Answer 4

El teorema de incompletitud de Godel es de naturaleza puramente matemática: demuestra las limitaciones de las matemáticas para representar con precisión una interacción real de la materia.

Los humanos pueden ‘esperar comprender’ todo lo que quieren, pero solo unos pocos, a saber, los científicos, parecen estar trabajando activamente para encontrar cosas.

Answer 5

Ninguna. Ninguno en absoluto.

El teorema de Goedel es el resultado de algunas propiedades de una construcción matemática particular (un sistema formal).