¿Por qué la intuición no se considera tan rigurosa en matemáticas?

Answer 1

No puedo decirlo mejor que Terry Tao. Desde Hay más en matemáticas que rigor y pruebas:

Uno puede dividir aproximadamente la educación matemática en tres etapas:

1. La etapa “pre-rigurosa”, en la que las matemáticas se enseñan de una manera informal e intuitiva, basada en ejemplos, nociones confusas y agitar las manos. (Por ejemplo, el cálculo generalmente se introduce por primera vez en términos de pendientes, áreas, tasas de cambio, etc.). El énfasis está más en la computación que en la teoría. Esta etapa generalmente dura hasta los primeros años de pregrado.
2. La etapa “rigurosa”, en la que ahora se le enseña que para hacer las matemáticas “correctamente”, se necesita trabajar y pensar de una manera mucho más precisa y formal (por ejemplo, rehacer el cálculo usando epsilones y deltas en todo el sitio). El énfasis ahora está principalmente en la teoría; y se espera que uno sea capaz de manipular cómodamente objetos matemáticos abstractos sin enfocarse demasiado en lo que dichos objetos realmente “significan”. Esta etapa generalmente ocupa los últimos años de pregrado y posgrado.
3. La etapa “post-rigurosa”, en la que uno se ha sentido cómodo con todos los fundamentos rigurosos del campo elegido, y ahora está listo para volver a visitar y refinar la intuición pre-rigurosa sobre el tema, pero esta vez con la intuición sólidamente respaldada por Teoría rigurosa. (Por ejemplo, en esta etapa, uno podría realizar cálculos de forma rápida y precisa en el cálculo vectorial mediante el uso de analogías con el cálculo escalar, o el uso informal y semi-riguroso de infinitesimales, notación Big-O, etc., y ser capaz de convierta todos estos cálculos en un argumento riguroso cuando sea necesario.) El énfasis ahora está en las aplicaciones, la intuición y el “panorama general”. Esta etapa generalmente ocupa los últimos años de posgrado y más allá.

La mayoría de los libros de texto que ve desde el principio están dirigidos a estudiantes que están en el proceso de pasar de la etapa 1 a la etapa 2, y es por eso que no hay mucho énfasis en la intuición. Una vez que superas ese punto, hay más énfasis en la intuición, pero sigue siendo la intuición lo que se puede traducir en rigor.

Answer 2

En cierto modo, esto es como preguntar: “¿por qué levantar la pelota no se considera tan altamente como manipularla con los pies en el fútbol?” o “¿por qué mirar las cartas de tus oponentes no se considera tan bien como jugar ciego en el póker?”.

La respuesta es: porque entonces no serían las matemáticas. La invención de las matemáticas por (probablemente) los antiguos griegos corresponde al descubrimiento de que hay ciertas áreas en la vida que pueden tratarse con lógica pura . La mayoría de las áreas de la vida debe tratarse con una gran dosis de intuición, porque son demasiado confusas y complicadas. Pero ciertas cosas, como las formas y los números, pueden pensarse de manera puramente lógica. Esto no es necesariamente obvio: los egipcios, por ejemplo, parecen haber usado una cierta cantidad de intuición en su geometría. No parecen haberse dado cuenta de que existía una verdad matemática eterna, o un camino de pura razón para descubrirla.

Una vez que se hizo este descubrimiento, se convirtió en un juego para perjudicarte deliberadamente y pensar en estas cosas usando la razón pura. A este juego lo llamamos matemática.

Answer 3

Creo que es muy apreciado. Las personas que tienen un historial de ‘ver’ o tener un excelente ‘instinto’ en cuanto a cuáles son las respuestas antes de que se haya establecido una prueba rigurosa son muy admiradas.

Son vistos como teniendo grandes y misteriosas mentes que los diferencian de sus compañeros.

Obviamente, la intuición no se valora como prueba de nada. Eso es porque no lo es. Pero eso no significa que no se valore.

Answer 4

Sospecho que se debe a uno o más de los siguientes:

1) Está implícito en el hecho de que cualquiera de las pruebas fueron concebidas en primer lugar.

2) La intuición no es un proceso, por lo que desafía la descripción.

3) Sería una tontería para cada ejercicio leer, “Sea intuitivo según sea necesario”.

Answer 5

Los dos son importantes. La intuición lo ayuda a ver cómo deberían funcionar las cosas, y el rigor es cómo demuestra que su intuición era correcta.

Answer 6

Leíste los libros equivocados.

Answer 7

¿Qué te hace pensar que la intuición no es tan apreciada? Los humanos no son probadores de teoremas automatizados; Realmente no podemos hacer búsquedas de fuerza bruta para pruebas (o teoremas).

Quizás una buena capacidad intuitiva es menos medible; es decir, más difícil de “detectar”? Entonces, el aparente desprecio por esto puede ser solo un sesgo de disponibilidad.