¿Hay declaraciones verdaderas pero no demostrables que no sean autorreferenciales?

Answer 1

Si. Quizás el más simple de explicar es el siguiente.

Juguemos un juego, el juego de la hidra (Matemáticas y Computación). El juego de la hidra funciona así: un día decides que quieres matar a una hidra. La hidra tiene varias cabezas que están dispuestas en un árbol, de esta manera (todas las imágenes son de la publicación del blog vinculada):

Tu objetivo es matar a la hidra cortando todas sus cabezas. Después de cortar una de sus cabezas, crece nuevas cabezas de la siguiente manera: si esta es la [matemática] n [/ matemática] vez que ha cortado una cabeza, entonces mire las cabezas en el subárbol que acaba de cortar una cabeza desde y crecer [matemáticas] n [/ matemáticas] copias de ese subárbol un nivel más bajo, de esta manera:

Teorema 1: es imposible perder este juego. (¡Pruébelo usted mismo! Vea el juego The Hydra).

Teorema 2: El teorema 1 no es demostrable en la aritmética de Peano de primer orden (axiomas de Peano).

Muy relacionado está el teorema de Goodstein y la prueba de consistencia de Gentzen.

Answer 2

Quizás piense que la prueba de Gödel es “algo trivial” porque la ha escuchado caracterizada como algo así:

1. Definir S : = ” S no es demostrable”.
2. Si S es demostrable, entonces S no es demostrable, lo cual es una contradicción.
3. Por lo tanto, S no es demostrable.
4. Por lo tanto, S es cierto.

Esta caracterización es incorrecta y pierde todo el punto de la prueba. Nunca se le permite escribir una “declaración” autorreferencial como S : = ” S no es demostrable”. Si pudiera, podría escribir fácilmente una “declaración” como S : = “no S ” y llegar a una contradicción.

La prueba real construye una declaración específica muy larga dentro de un sistema no autorreferencial que, cuando se ve desde fuera del sistema, se puede demostrar que tiene ciertas propiedades autorreferenciales. Ver Boceto de prueba para el primer teorema de incompletitud de Gödel, y mi respuesta a ¿Se puede probar o refutar que la única fuente de incompletos de Godelian es la recursión infinita?

Answer 3

Sí hay.

Por ejemplo, la hipótesis Continuum es un ejemplo de tal afirmación: no es demostrable ni refutable en la teoría de conjuntos ZFC.

El segundo teorema de incompletitud de Godel ofrece otro ejemplo de tal enunciado: Cons (F), una fórmula que afirma la consistencia del sistema formal F. Cons (F) puede formularse sin usar ningún enunciado autorreferencial. Por ejemplo, uno puede definir Cons (F) como “En el sistema formal F, no existe prueba de 0 = 1”. Contras (F) es demostrable si y solo si es falso. (Alucinante, ¿no?)

Dicho esto, lejos de todas las referencias personales son “algo triviales”. Por un lado, las autorreferencias pueden ser indirectas. Por ejemplo, un par de declaraciones A y B pueden referirse entre sí: A: “B es falso”, B: “A es verdadero”. De hecho, ¡es imposible reconocer algorítmicamente una autorreferencia en el caso general! Sin mencionar que incluso si es teóricamente posible, podría ser muy difícil hacerlo en la práctica. Considere la declaración C: “La declaración X, que es la declaración C, si la conjetura de Goldbach es verdadera, pero la declaración A si GC es falsa, es falsa”. ¿C es autorreferencial o no?

¿Qué es “verdad”, de todos modos? Ten cuidado con éste. ¡Observe que los teoremas de Godel como tales no mencionan la verdad ni falsifican! Un sustituto formal de uso frecuente para “verdadero” es “existe un modelo de”. La fórmula G de Godel, que es el análogo formal de la declaración del mentiroso) no es realmente verdadera o falsa como tal según este criterio, dado que dado un sistema formal F y la oración G para ese sistema formal, existen modelos tanto para extensiones de F que incluye G como axioma, y ​​para extensiones que incluyen ~ G como axioma.

Answer 4

Si.
ver la página de Wikipedia: Busy beaver

Citando Wikipedia:
…
en un sistema axiomático de matemática ordinaria, hay una oración verdadera pero no demostrable de la forma “Σ (10 ↑↑ 10) = n “, y hay infinitas oraciones de la forma “Σ (10) ↑↑ 10) < n ”
…

Answer 5

Imagina todos los poderes (positivos, enteros) de 2 : 2, 4, 8, 16, …

Imagine todos los poderes (positivos, enteros) de 7 : 7, 49, 343, …

No hay potencias de 2 cuyos dígitos, cuando se invierten, son potencias de 7.

Parece cierto No puedo probarlo. No hay autorreferencia allí.