¿Qué tan útil es tomar un curso de ‘lógica’ para matemáticos?

Answer 1

La lógica es fundamental para toda deducción e inducción razonable. Sin lógica, nadie puede decir que algo es absolutamente correcto o absolutamente incorrecto en el mundo de las matemáticas. Hay muchos ejemplos que sugieren que las intuiciones y las experiencias generalmente no son confiables. Peor aún, muchos hechos matemáticos son contra-intuitivos.

La función primitiva de la lógica es asegurarse de que todo sea lógicamente derivable de axiomas y teoremas establecidos. Verá muchos libros de texto sobre análisis, probabilidad y topología que contienen un capítulo sobre lógica. Porque toda prueba de teoremas necesita una prueba rigurosamente lógica.

Además, la lógica a veces dirige a cosas nuevas que son insensibles para nosotros. Un buen ejemplo de esto es la generación de nueva geometría aparte de la geometría euclidiana. Cuando el quinto postulado es lógicamente probado como independiente, se propone una nueva hipótesis y se verifica pronto. La geometría curva genera la teoría general de la relatividad de Einstein, etc.

Otro ejemplo que muestra que realmente necesitamos lógica es la escalera del mundo finito al infinito. No todos los teoremas que se mantienen en caso finito se pueden aplicar directamente a caso infinito. Por ejemplo, principio de casillero: al menos un casillero tiene más de una paloma si el número de palomas, llamada m, es mayor que el número de casilleros, llame n (m> n). Cuando n tiende al infinito, uno puede poner cada paloma en un palomar y no hay dos que compartan la misma.

La lógica garantiza que hacemos lo correcto y ayuda a distinguir cuál es correcto y cuál es incorrecto, y cuál no es ni correcto ni incorrecto.

Answer 2

La lógica es súper genial. Donde por lógica me refiero a los teoremas de completitud e incompletitud, Lowenheim-Skolem, y el teorema de compacidad. Y hay matemáticas serias que usan la lógica. ¡PERO! No es popular en la comunidad matemática. De hecho, está mal visto usar teoremas de la lógica (o para ser precisos de la “teoría del modelo”) en las pruebas. A menudo he oído hablar de personas que tuvieron que reescribir sus documentos y encontrar una prueba que no utiliza la teoría modelo. (Incluso si la prueba original fuera realmente mejor). Es lamentable, pero es cierto. La lógica simplemente no es popular. Pero es bastante genial.

Answer 3

Permítanme decirlo de esta manera: sin lógica, todas sus habilidades matemáticas serán totalmente subcontratadas por una computadora. El cálculo, el álgebra, la trigonometría, etc. son realizados instantáneamente por nuestros pequeños amigos electrónicos. Algunos se han preguntado por qué todavía tenemos que hacer matemáticas sin una calculadora.
La lógica es lo que nos eleva de ser calculadores de carne a ser realmente matemáticos. ¡Somos capaces de desarrollar un lenguaje que pueda comprender cosas increíblemente complejas y establecer verdades profundas dentro de los sistemas que no tienen números! ¡Veamos una calculadora hacer algo al respecto!
Nos guste o no, una computadora aún no está cerca de la capacidad de un buen cerebro humano que pertenece a un matemático, cuando se trata de ser creativo, y la lógica permite a los humanos ser creativos con respecto a las matemáticas.

Answer 4

Super útil

Una gran cantidad de matemáticas avanzadas de pregrado (especialmente aquellas en la secuencia de honores) se basa en pruebas donde sus habilidades de redacción de pruebas en general o su capacidad de razonar lógicamente desde varias definiciones hasta teoremas se vuelven fundamentales para su éxito

Y la tendencia continúa hacia tu escuela de posgrado y tu carrera como matemático.