Estos son diferentes sistemas formales que uno podría o no estar interesado en estudiar.
Para una intuición aproximada, la diferencia es esta: “Aritmética de Peano” (como se usa generalmente el término) le permite hablar sobre números naturales, “aritmética de segundo orden” (como se usa generalmente el término) le permite hablar sobre conjuntos de naturales números además de eso, y ZFC le permite hablar sobre conjuntos de conjuntos de números naturales, conjuntos de conjuntos de conjuntos de números naturales, etc., a un nivel mucho más avanzado.
Sin embargo, esa es solo una intuición aproximada, ya que también es el caso de que la “aritmética de segundo orden” prueba afirmaciones sobre los números naturales que Peano Aritmética no (al menos, en la medida en que Peano Aritmética es consistente), y ZFC prueba afirmaciones sobre los números naturales que la “aritmética de segundo orden” no (de nuevo, en la medida en que la aritmética de segundo orden sea consistente). Lo que está sucediendo aquí es que en la aritmética de Peano, tenemos un principio que nos permite llevar a cabo la inducción de las propiedades de los números naturales expresados en el lenguaje de la aritmética de Peano; en aritmética de segundo orden, esto se refuerza para que podamos llevar a cabo la inducción incluso para las propiedades de los números naturales que pueden referirse a la cuantificación sobre conjuntos arbitrarios de números naturales [que no estaba disponible en PA], y en ZFC esto se refuerza nuevamente para permitir la inducción de propiedades en el lenguaje de ZFC.
La “verdadera aritmética” es una quimera; solo significa “Todas y solo las declaraciones sobre números naturales que son verdaderas”, sin ningún medio formal de enumerar tales declaraciones. En relación con dos modelos no equivalentes de números naturales, obtendría dos nociones no equivalentes de aritmética verdadera.
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¿Por qué no podemos tener solo uno de estos sistemas formales? Bueno, no tienes que preocuparte por más de uno si no estás interesado; ¡ni siquiera tiene que preocuparse por uno de estos! Pero todos están ahí fuera y son diferentes, para las personas que están interesadas en tales sistemas formales para estudiar. Preguntar por qué no podemos tener solo uno es como preguntar por qué tenemos los conceptos monoide, grupo, anillo, campo, espacio vectorial, …, en lugar de solo uno. Tenemos cada uno de ellos porque a las personas les parece interesante pensar en algunos fines.
(Tenga en cuenta en particular que solo porque el sistema formal A demuestra todo lo que el sistema formal B hace y más, no se sigue que el sistema formal A sea universalmente más interesante que y debería reemplazar al sistema formal B [no abandonamos la noción de un anillo simplemente porque la noción de campo es más fuerte].