¿Qué tan centrales son las pruebas y el conocimiento de las técnicas de prueba para el tema de las matemáticas?

Answer 1

Realmente central.

Al estudiar matemáticas superiores, la mitad de su tiempo se destinará a comprender la teoría (la otra mitad a ejemplos y ejercicios, aunque la partición exacta variará). A mi entender, la comprensión viene en tres pasos:

• Leer las definiciones y teoremas a fondo y comprender de qué se tratan. Con este nivel, comprenderá algunos ejemplos y podrá comenzar los ejercicios. Muchas personas y cursos de ingeniería se detienen en esta etapa, por lo que nunca entenderán realmente la teoría, solo podrán usarla.
• Haciendo las pruebas . En muchos casos, las pruebas son en realidad muy fáciles y directas, por lo que hacerlas te dará una verdadera comprensión de por qué algo es verdad, en lugar de solo saber que es verdad. Las pruebas pueden aportar información necesaria para las generalizaciones, y en casos marginales donde es difícil saber si el teorema es válido, por lo que son necesarias para estudiar más teoría y comprender ejercicios más difíciles.
• Comprender el siguiente nivel de abstracción . Las matemáticas están (más o menos) construidas en capas, donde cada capa es más abstracta que la siguiente. Cuando se aprende un nivel más alto de abstracción, la teoría previa será una base sólida para la generalización (por ejemplo, cálculo regular a multivariado), o servirá simplemente como un ejemplo (por ejemplo, Z y R a menudo son ejemplos en teoría de grupos y campos). Ver una teoría dentro de un contexto amplio ayuda a comprender realmente de dónde viene.

Entonces, hacer las pruebas no se trata tanto de convencer a los lectores sobre algo que de otro modo no creerían, o de enseñarles el concepto de pruebas, sino de alcanzar un mayor nivel de comprensión . Aunque, obviamente, probar sus resultados también es esencial para construir sus propias teorías, simplemente porque de otro modo no calificarían como verdades matemáticas adecuadas.

En cuanto a las “técnicas de pruebas”, hay tan pocos principios básicos que esto realmente no debería ser un problema. Hay una “transformación lógica” (por ejemplo, probar que la contraposición de una proposición es a menudo más fácil que una prueba directa), prueba por contradicción, prueba por inducción y prueba por agotamiento. Realmente, eso es todo, y la mayoría de las pruebas son realmente una sola aplicación de uno de estos, o una prueba directa.

Algunas pruebas más difíciles usan combinaciones complejas y variantes interesantes, como la hermosa prueba del lema de Urysohn en topología que usa una inducción fuerte al enumerar los números racionales en lugar de los números naturales. Este tipo de pruebas son bastante raras, y aunque a menudo no brindan información especial porque no son lo suficientemente sencillas como para comprenderlas realmente, a menudo son interesantes por sí mismas .