¿Rama realizó los últimos ritos y un funeral para su padre?

No. Fue realizado por Bharata.

Según Valmiki Ramayan, Ayodhya Kand
Vasistha le aconseja a Bharata que deje de lamentarse y realice los últimos ritos del rey. Bharata luego coloca el cuerpo de Dasaratha en un sofá, sacándolo del recipiente donde había sido sumergido en aceite y continúa con los ritos funerarios. Los sacerdotes designados, los asistentes, la gente de la ciudad y las mujeres reales que lloraban siguieron la pila fúnebre del rey hasta las orillas del río Sarayu donde el cuerpo fue incinerado. Bharata junto con otros regresan a la ciudad después de la finalización de la ceremonia de cremación.

Según ramcharitmanas por tulsidas

Aho bharat bhavayi prabal bilakh kahi muni nath
haani laabh jeevan maran yash apyash vidhi haath.
así que después de llamar a bharat y shatru de kaikeya, los últimos ritos fueron realizados por bharat bajo la guía de kulguru Vashishth y luego bharat fue a encontrarse con rama en Chitrkoot. Él le informó sobre la desaparición de su padre el rey y solicitó que regresara para el control de los asuntos de estado, pero Rama bajo voto de su padre optó por mantener las palabras, es decir
Raghukul riti sada chal aayi
Pran jaye par bachan na jayee.
Así que preparó a Bharat para gobernar y se fue al exilio con su consorte Sita y Laxman.