El sitio web católico autoritario New Advent sugiere a Linus como el segundo tipo:
“Todos los registros antiguos de los obispos romanos que nos han sido entregados por San Ireneo, Julio Africano, San Hipólito, Eusebio, también el catálogo liberiano de 354, colocan el nombre de Linus directamente después del del Príncipe del Apóstoles, San Pedro. Estos registros se remontan a una lista de los obispos romanos que existieron en la época del papa Eleuterio (alrededor de 174-189), cuando Ireneo escribió su libro “Adversus haereses”. A diferencia de este testimonio, nosotros no puede aceptar como más confiable la afirmación de Tertuliano, que incuestionablemente coloca a San Clemente (De praescriptione, xxii) después del Apóstol Pedro, como también lo hicieron otros eruditos latinos (Jerónimo, Hombres Ilustres 15). La lista romana en Ireneo es indudablemente mayor dice que el Papa Linus es el Linus mencionado por San Pablo en su 2 Timoteo 4:21. El pasaje de Ireneo (Contra las Herejías III.3.3) dice:
Después de que los Santos Apóstoles (Pedro y Pablo) fundaron y pusieron en orden la Iglesia (en Roma), entregaron el ejercicio del oficio episcopal a Linus. El mismo Linus es mencionado por San Pablo en su Epístola a Timoteo “.
Como puede ver al leer lo anterior, hay un poco de controversia sobre esto, pero el asunto se ha resuelto esencialmente.
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Más, aquí: ENCICLOPEDIA CATÓLICA: Lista de papas
Espero que ayude.