¿Podrías usar las leyes de las matemáticas para probar algo que no es verdad?

Answer 1

Esta es realmente una pregunta muy matizada, ¡y algo en lo que los lógicos investigan! Si las leyes de las matemáticas solo prueban afirmaciones verdaderas se conoce como solidez. Cuando se trata de números enteros y racionales, tenemos una fuerte evidencia de que todas las teorías de uso común son sólidas. Si hemos demostrado que una ecuación no tiene solución, puede estar bastante seguro de que en realidad no hay solución. Si hemos demostrado que un algoritmo funciona, puede estar bastante seguro de que ejecutar el algoritmo siempre da un resultado correcto. Entonces, en este sentido, la respuesta a su pregunta es “no”.

Pero cuando se trata de conjuntos, en particular, conjuntos infinitos, la “verdad” se vuelve un poco más confusa, y leerá debates entre lógicos y teóricos de conjuntos sobre qué noción de “verdad” es más útil. Es difícil resolver estos debates, porque la mayoría de los conjuntos infinitos no corresponden a nada en la vida real, por lo que no tenemos intuición física para ellos. Por ejemplo, como se menciona en otra respuesta, ¿la paradoja de Banach-Tarski es “verdadera” o deberíamos rechazar el Axioma de Elección? ¡Esto es discutible! A pesar de la oscuridad en torno a conjuntos infinitos, todavía tenemos pruebas contundentes de que todas las teorías de uso común son consistentes, lo que significa que no prueban ninguna contradicción consigo mismas.

Answer 2

Las “leyes de las matemáticas” permiten la definición de axiomas y reglas lógicas para generar teoremas que pueden probarse como verdaderos o falsos. Las matemáticas dan libertad para elegir los axiomas y los principios lógicos. Usando su propia elección de marco matemático permitido por las “leyes de las matemáticas”, examine las siguientes dos afirmaciones y deduzca la verdad / falsedad de cada una:

1. Al menos una de estas dos afirmaciones es falsa.
2. 1 + 1 = 2

Si suponemos que la declaración 1 es falsa, significa que es falsa que al menos una de estas declaraciones es falsa; Esto es una contradicción con nuestra suposición, por lo que concluimos que la declaración 1 debe ser verdadera, por lo que al menos una de estas dos declaraciones es falsa significa que la declaración 2 debe ser falsa.

Ahora sabemos que la declaración 2 es falsa, por lo que 1 + 1 <> 2.
Pero 1 + 1 = 2, entonces nuestra prueba es la de algo que no es cierto. QED

Los axiomas y las declaraciones lógicas elegidas por un matemático pueden estar incompletas (es decir, hay declaraciones verdaderas que pueden especificarse completamente dentro del lenguaje elegido por los axiomas, pero que no pueden demostrarse utilizando los axiomas y la lógica), o inconsistentes (es decir, las leyes de las matemáticas puede usarse para probar algo que no es cierto). Existen sistemas que son consistentes y completos, y algunos que son probables dentro del propio sistema, pero se han hecho muchas matemáticas utilizando un conjunto de axiomas y reglas que no tienen consistencia e integridad; en general, las personas usarán tales un sistema si es útil hasta que se demuestre una inconsistencia demostrada, con lo cual los axiomas o principios lógicos se cambian para salvar la consistencia.

El ejemplo que di es inconsistente si sus reglas matemáticas para la lógica establecen que una declaración debe ser verdadera o falsa (y no ambas o ninguna), si permite que la forma de las declaraciones sea significativa. La inconsistencia de este sistema se demuestra al probar que una afirmación falsa es verdadera, usando las leyes de las matemáticas, como lo solicitó el afiche.

La conclusión, sin embargo, no es que haya algo mal con las leyes de las matemáticas, sino que los axiomas y la lógica particulares utilizados para evaluar las declaraciones son inconsistentes.

La matemática real se realiza utilizando un conjunto de axiomas y reglas lógicas que, a veces, han demostrado ser inconsistentes: el trabajo de demostrar la inconsistencia y encontrar fórmulas alternativas para la base de un sistema matemático es una parte importante de lo que hacen los matemáticos. .

Las leyes de las matemáticas también permiten probar algo que no es cierto: ¡comience con uno o más axiomas falsos!

Postulados:

1) Sherlock Holmes es un personaje imaginario.
2) Todos los personajes imaginarios fueron creados por Shakespeare.

Teorema:
Sherlock Holmes fue creado por Shakespeare.

Ahora, usando las “leyes de las matemáticas”, uno puede probar que el teorema “Sherlock Holmes fue creado por Shakespeare” es verdadero, aunque la declaración en sí misma sea falsa. Esto se debe a que las “leyes de las matemáticas”, cuando se aplican al “mundo real” dependen de que la analogía sea exacta, aunque este principio de analogía es muy útil para los físicos, que usan las matemáticas para describir el mundo real, es posible que modelo matemático para divergir. Tal divergencia no es un defecto de las matemáticas, sino simplemente una mala interpretación de lo que las matemáticas significan en el mundo real. Entonces, si entendiste que “Sherlock Holmes” es ese detective ficticio cuyas historias fueron propiedad de Sir Arthur Conan Doyle, en lugar de algo más abstracto, y si entendiste que “Shakespeare” es el famoso dramaturgo inglés de ese nombre, entonces el teorema acabamos de demostrar que usar las leyes de las matemáticas es algo que no es cierto.

La paradoja de Banach-Tarski a veces se promociona como un ejemplo de un verdadero tótem matemático que prueba algo que es físicamente falso; en realidad, es la idea de que los objetos físicos pueden subdividirse en los tipos de piezas involucradas en el teorema que se demuestra que es falso …

Answer 3

El concepto de probar algo está inherentemente vinculado a mostrar innegablemente que esto es un hecho. Sin embargo, hay muchos ejemplos en los que podemos probar algo que parece que no puede ser cierto.

Tomemos, por ejemplo, la paradoja de Banach-Tarski. En términos simples, esta paradoja describe cómo podemos separar una esfera y usar estas partes para construir dos nuevas esferas, cada una idéntica a la primera. Este es un hecho “probado” y es cierto en el mundo de las matemáticas. Sin embargo, este teorema se basa inherentemente en algunos supuestos desarrollados a través de la Teoría de la Medida (matemática), un conjunto de reglas que no se traducen exactamente en el mundo real.

Por supuesto, la idea de una prueba puede volverse un poco más compleja. Véanse, por ejemplo, los teoremas de incompletitud de Gödel.

Answer 4

Si algo no es cierto, entonces no puedes probarlo.

Ese es el principio número uno de las matemáticas. Ahora, puedes inventar teorías matemáticas con un comportamiento extraño. Por ejemplo, en el que dos líneas se cruzan siempre (esa es la geometría de la esfera), o en el que tiene muchos paralelos con una línea dada que pasa a través de un punto (esa es la geometría de Lobatchevski, vea el mundo Esfera de Poincaré).

De hecho, un profesor de un teorema matemático no necesariamente descarta que el mismo teorema pueda ser falso en otras teorías matemáticas.

Ya desarrollé la pregunta aquí: la respuesta de Alain Debecker a ¿Cómo plantean las hipótesis los matemáticos? Si una hipótesis matemática no se ha probado durante mucho tiempo, ¿cómo saben los matemáticos que no estaba equivocada en primer lugar?

Answer 5

Solo si comienzas a partir de hipótesis falsas.