¿Toda verdad matemática tiene necesariamente más de una prueba?

Answer 1

Depende de cómo contamos las pruebas.

En lógica, normalmente comenzamos definiendo una prueba como una lista de fórmulas (o un árbol, o alguna otra estructura), comenzando con los axiomas, aplicando las reglas de deducción y terminando con el teorema. Según esta definición, cada teorema tiene infinitas pruebas, porque podemos simplemente “perder el tiempo” al principio de la prueba, demostrando hechos irrelevantes que nunca se utilizan.

Para una respuesta más interesante, queremos considerar cuándo dos pruebas son equivalentes. Si pruebo P, entonces pruebo Q y deduzco R, esta debería ser “la misma” prueba que probar Q y P, y deducir R. Las nociones apropiadas son normalización en la deducción natural o eliminación de corte en el cálculo posterior: dos pruebas son equivalente si tienen la misma forma normal o forma sin cortes.

Incluso con esta noción, la mayoría de los teoremas tienen infinitas pruebas, ¡pero no todas!

Ahora podemos demostrar que la tautología P -> P (donde P es una variable de enunciado) solo tiene una prueba. La tautología P -> (P -> P) -> P tiene infinitas pruebas: elija un número natural n, luego

(1) Suponga que P

(2) Suponga que P -> P

y ahora aplique la hipótesis (2) n veces a la hipótesis (1). Cada valor de n da una prueba diferente, no equivalente.

Answer 2

Como hay afirmaciones verdaderas pero no demostrables en una teoría incompleta dada (tales teorías constituyen la mayor parte de las matemáticas), la respuesta es no.

En sistemas completos, esto (hasta donde yo sé) en su mayoría sigue siendo una pregunta abierta con algunas excepciones como cuadros analíticos en los que, por ejemplo, hay exactamente una prueba (a través de la regla [math] \ neg \ supset [/ math]) que [ math] \ neg (A \ supset A) [/ math] es una fórmula contradictoria.

Espero que ayude.

Answer 3

Una prueba, en su forma más rigurosa, es una secuencia de enunciados matemáticos, con las siguientes dos propiedades:

• La última declaración en la secuencia es la declaración probada.
• Cada declaración en la secuencia es un axioma o se sigue de declaraciones anteriores por una regla de inferencia.

Ahora, si toma alguna prueba, puede agregar un axioma al comienzo de la secuencia, y aún tiene una prueba. Entonces, si hay una prueba, se deduce que hay un número infinito de pruebas.

Sin embargo, no es el caso que toda declaración matemática verdadera tenga una prueba. Consulte el teorema de incompletitud de Godel para obtener más detalles.