¿Cuáles son los usos de la lógica modal de Lewis S1-S5?

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Lo principal que motivó el proyecto de CI Lewis fue su insatisfacción con la implicación material. Este tipo de implicación (a menudo llamado ‘condicional’) es lo que aprende cuando toma un curso introductorio o de lógica simbólica y se simboliza con una flecha ‘→’ o una herradura ‘⊃’. Su preocupación era que la afirmación ‘p implica q’ (p → q) es verdadera siempre que p sea falsa o q sea verdadera. En otras palabras, una declaración falsa implica cualquier otra declaración y una declaración verdadera está implícita en cualquier otra declaración.

Lewis no estaba tan molesto con la lógica; de hecho, estaba de acuerdo. Su problema era que la palabra “implica” parece perder su significado semántico en un sistema como este. Cuando decimos que ‘p implica q’ tendemos a significar que p tiene alguna característica que hace q sea verdadera. Pero en el sistema actual (desarrollado por Russel y Whitehead) simplemente no funcionó así. Después de todo, siempre que p sea falso, cualquier cosa estaría implícita en ello. Eso es un poco raro.

Así que Lewis quería desarrollar un sistema en torno a la ‘implicación estricta’ (en lugar de la implicación material) que no permitiría que las declaraciones falsas implicaran cualquier cosa y todo. Su implicación estricta capturaría mejor el contenido semántico de la implicación, es decir, lo que queremos decir cuando decimos ‘p implica q’. El sistema S1 de Lewis incluye casi todos los axiomas de otros sistemas, pero excluye notablemente lo siguiente: ¬p → (p → q). Este es el axioma en cuestión que permitiría que cualquier cosa se siga de una declaración falsa. Lewis también usa una cosa de doble flecha ‘⇒’ para simbolizar una implicación estricta.

El siguiente paso es hacer que el sistema sea más poderoso para que podamos hablar sobre la posibilidad y la necesidad. Supongamos que digo “Si alguien bebe veneno, es posible que muera”. La lógica clásica no tiene una manera de simbolizar que algo es posible, lo que significa que perdemos parte del contenido semántico de la declaración. Lewis trabajó con muchas posibilidades y necesidades, por lo que tiene sentido que aplicara esto a su lenguaje de lógica. Su sistema S2 introduce el diamante ‘⬦’ para representar la posibilidad de que la afirmación sea cierta. En particular, agrega el siguiente axioma a S1: ⬦ (p∧q) ⇒⬦p (si es posible que pyq sean verdaderas, entonces es posible que p sea verdadero; o más adecuadamente, el hecho de que es posible para py q ser verdadero implica estrictamente el hecho de que es posible que p sea verdadero).

S3 S4 y S5 fueron desarrollados por otros lógicos, y Lewis nunca fue un fanático. Recuerde, su objetivo principal era construir un sistema alrededor de una implicación estricta. El axioma que se introdujo en S3 pierde este objetivo, según Lewis (básicamente es demasiado fuerte). Pero eventualmente llegamos a la casilla ‘□’ para representar la necesidad. (En realidad, la caja no estaba representada en ese momento, sino que se construyó más tarde. Sin embargo, tendemos a incluirla en el sistema, porque es más fácil de tratar. Originalmente, habrían usado ~ ⬦ ~ p para describir la necesidad: no es posible que p sea falso)

Entonces, el uso de la lógica modal para Lewis es capturar una implicación estricta. Pero, en general, la lógica modal es un sistema más poderoso que los sistemas clásicos anteriores porque nos permite simbolizar la posibilidad y la necesidad de una manera lógicamente rigurosa. Incluso se han desarrollado sistemas más potentes a partir de la lógica modal para describir las declaraciones deónticas (‘Deberías hacer φ’).

¡Es un sistema realmente divertido y no más difícil que la lógica de predicados!