¿Por qué no hay un algoritmo para decidir la verdad de las declaraciones en cualquier extensión consistente de la aritmética de Peano y qué significa la expresión?
Debido a que las declaraciones en cualquiera de estos sistemas pueden recibir una numeración de Gödel en la que (informalmente) se puede demostrar que la declaración autorreferencial “esta declaración no se puede probar” existe (sin autorreferencia).
Como el sistema es consistente, la declaración no puede ser probada ni refutada. Esto implica que no puede existir un algoritmo para determinar la probabilidad (verdad informal) de todas las declaraciones bien formadas en ese sistema.
El significado de esta conclusión, lo que se conoce como el primero de los teoremas de incompletitud de Gödel, es que en cualquier sistema de este tipo siempre habrá declaraciones que sean independientes del sistema. Tales declaraciones, o su negación , se pueden agregar al sistema como nuevos axiomas.
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Algunas veces (con demasiada frecuencia) escuchará a la gente decir esto, ya que hay “declaraciones verdaderas que no se pueden probar”, pero dado que la negación de tales “declaraciones verdaderas” también podría agregarse consistentemente al sistema, la “verdad” de las declaraciones es, en el mejor de los casos, discutible. Esto ilustra que “verdad” es un concepto bastante más resbaladizo que “demostrabilidad”. Es mejor dejarlo a los filósofos. Los matemáticos pueden seguir con “demostrable” 🙂