¿Alguien podría explicar esta prueba de indefinibilidad de la verdad?

Answer 1

La notación en la prueba que das es, sin duda, bastante desordenada, pero es (como notas) el teorema de Tarski.

Teorema de Tarski: ningún lenguaje formal suficientemente rico puede contener su propio predicado de verdad.

Analicemos eso un poco. Lo que queremos de un predicado de verdad [matemáticas] Tr (y) [/ matemáticas] para un lenguaje [matemáticas] L [/ matemáticas] es que para cualquier oración (es decir, fórmula cerrada) [matemáticas] F [/ matemáticas] de [ math] L [/ math] el siguiente biconditional es verdadero:

[matemática] Tr (\ ulcorner F \ urcorner) \ iff F [/ math]

donde [math] \ ulcorner F \ urcorner [/ math] es el número formal del número de Gödel de [math] F. [/ math]

La prueba del teorema de Tarski es bastante similar a la prueba del teorema diagonal sintáctico (también llamado teorema del punto fijo), pero aquí hay una descripción general:

1. Demuestre el teorema de la semántica diagonal, que establece que para todas las fórmulas [matemáticas] F (y) [/ matemáticas] del lenguaje [matemáticas] L [/ matemáticas] existe una fórmula [matemáticas] H [/ matemáticas] tal que [matemáticas] F (\ ulcorner H \ urcorner) \ iff H [/ math] es verdadero.
2. Luego, para cualquier fórmula [matemática] Tr (y) [/ matemática] que pueda ser un predicado de verdad de [matemática] L [/ matemática], use el teorema diagonal semántico para obtener una fórmula [matemática] H [ / math] tal que [math] \ neg Tr (\ ulcorner H \ urcorner) \ iff H [/ math] es verdadero.
3. Por lo tanto, hemos obtenido [matemáticas] Tr (\ ulcorner H \ urcorner) \ iff \ neg Tr (\ ulcorner H \ urcorner) [/ math], lo cual es una contradicción. Por lo tanto, [math] Tr (y) [/ math] no puede ser un predicado de verdad para [math] L [/ math].