A2A. Es difícil llamar a alguien matemático que no ha aprendido nada más allá de lo que se les enseñó, por lo que definitivamente es incorrecto. Es posible que esté pensando en lugar de lo que se les ha enseñado más un pensamiento original más en líneas similares , y naturalmente hay muchos matemáticos que pasan sus carreras trabajando en desarrollos posteriores relativamente poco revolucionarios en campos que estudiaron como estudiantes. La mayoría de los descubrimientos en matemáticas y ciencias son así, después de todo, y no hay vergüenza en desconectarse diligentemente de los teoremas de prueba y enseñar en geometría algebraica “clásica” o lo que sea que tengas.
En cuanto a las “ideas nuevas y contradictorias”, existen algunos tipos diferentes. Dado que en las matemáticas las declaraciones tienden a ser definitivamente verdaderas o definitivamente falsas en un mayor grado que en la mayoría de los campos, generalmente una idea nueva y contradictoria es simplemente una idea incorrecta, como cuando las personas escriben en un departamento de matemáticas diciendo que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es racional.
Donde las personas pueden estar en desacuerdo en matemáticas sin que una de ellas esté simplemente en error es, por un lado, sobre conjeturas o hipótesis, y por otro lado, sobre lo que podríamos llamar cuestiones históricas o filosóficas. Para las conjeturas, cuando uno escucha sobre la conjetura, uno escucha que puede ser verdadera o falsa, por lo que la antítesis ya está ahí. No creo que haya ningún problema real allí. La diferencia entre un hecho y una mera conjetura se hace de manera bastante clara en las matemáticas. Sabemos que hay infinitos números primos. No conozco a ningún matemático que tenga serias dudas sobre si hay infinitos números primos gemelos, pero nadie dice saberlo de hecho.
En un momento, Serge Lang lanzó una campaña para cambiar el nombre de una conjetura para honrar a las personas principalmente responsables de ella, y hasta cierto punto se podría llamar a esto una disputa histórica. Sin embargo, no recuerdo que alguna vez se haya reducido a una contradicción definitiva entre afirmaciones opuestas. También parece que las personas familiarizadas con la conjetura bajo cualquiera de los dos nombres también habían oído hablar de la campaña. Ahora es en gran medida discutible porque lo llamamos teorema de modularidad (Teorema de modularidad – Wikipedia).
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Algunas personas parecen haber aprendido una versión confusa de la historia de la teoría de conjuntos en la que las paradojas de la teoría de conjuntos desempeñaron un papel más importante que ellos. Sin embargo, no diría que esto sería algo que a uno normalmente se le enseñaría como estudiante y luego nunca se enteraría de la evidencia en contra. Tal vez alguien pueda pensar en un mejor ejemplo de ideas contradictorias sobre la historia de las matemáticas, donde a los matemáticos se les enseñaría solo un lado y nunca se darían cuenta de que había otro lado.
Las diferencias filosóficas vienen en varios sabores. Hay muchas cosas que podríamos llamar diferencias de opinión superficiales. Las personas no están de acuerdo sobre los méritos del análisis no estándar (Análisis no estándar – Wikipedia), por ejemplo. La mayoría de los matemáticos parecen nunca aprenderlo. Tiene algunos grandes admiradores. No lo he visto descrito como una gran contradicción. Nadie sugirió que una forma u otra fuera “la forma correcta”, incluso si el análisis no estándar se trata como más periférico que el análisis que generalmente se enseña.
Hay algún tipo de ideas metafísicas sobre las matemáticas, como si realmente existen objetos matemáticos. Por lo general, parece que cuando escuchamos sobre tales cosas es a modo de decir que algunas personas piensan que sí y otras dicen que no. Los matemáticos parecen generalmente desinteresados en profundizar en temas como este. Se ha bromeado que los matemáticos suelen ser platónicos de lunes a viernes mientras hacen un trabajo real y luego formalistas el fin de semana, cuando uno podría estar hablando de lo que significa todo. No creo que nada de esto sirva como un ejemplo de lo que estás preguntando.
Las diferencias más serias en filosofía serían las que tocan la práctica matemática real. Puede ocurrir fácilmente que los matemáticos nunca aprendan sobre filosofías de las matemáticas significativamente diferentes de las que se les presentaron como estudiantes (generalmente de una manera muy informal). Parece que la mayoría de los matemáticos que he conocido solo han escuchado sobre alternativas de pasada.
Aquí hay un intento estándar de suavizar las diferencias de opinión. Es algo parecido a esto. Todos están de acuerdo en que la cuestión de si una determinada afirmación es consecuencia de un determinado conjunto de axiomas y reglas de inferencia (es decir, puede derivarse utilizando esas reglas) es una pregunta matemática válida. Entonces, si estás usando diferentes axiomas que yo, bueno, entonces estás haciendo un tipo de matemática diferente al mío. Vive y deja vivir, a cada gusto, etc. A veces esto es lo suficientemente bueno.
El problema es que, en la práctica, el problema no es tanto si lo que una persona está haciendo es matemática, sino lo importante que es. Las diferencias de opinión inspiradas filosóficamente al respecto no se resuelven de esta manera. Entonces, por ejemplo, ha habido ciertos matemáticos que consideraron importante explorar los teoremas que pueden probarse sin usar la ley del medio excluido o el axioma de elección (porque esos son los principales axiomas no constructivos [*]), y muchos de otros cuya actitud hacia eso es que tal exploración merece quizás ser un subcampo estrecho de lógica matemática, pero órdenes de magnitud menos importantes que explorar las consecuencias del conjunto “completo” de axiomas. Si todo lo que sabe de la filosofía de las matemáticas es la línea de pensamiento débilmente formalista del párrafo anterior, no podrá reconocer hasta qué punto la comunidad matemática está unida en su opinión sobre qué conjuntos de axiomas vale la pena dedicar millones de trabajo. horas a cada año, y que merecen solo unos pocos cientos de horas de trabajo en el mejor de los casos.
Parecía bastante común en el pasado que la idea de no usar la ley del medio excluido fuera algo de lo que un matemático acababa de enterarse, con poca idea de sus posibles pros y contras, aparte del hecho de que casi siempre úselo cuando sea conveniente. Parecía bastante habitual que la impresión fuera solo que había algunos escépticos radicales que tenían un “problema” con esos axiomas.
Ahora hay personas que alegan que la correspondencia de las pruebas como programas de Curry-Howard (correspondencia de Curry-Howard – Wikipedia) está superando gradualmente este conflicto al generar suficiente interés en las pruebas constructivas (porque pueden compilarse en programas informáticos). Esto me parece demasiado optimista, pero no tengo una bola de cristal para comprobarlo. Si los informáticos a veces tienen interés en las pruebas constructivas, bueno, en realidad muchos informáticos son antiguos lógicos, y estudiarlos por el bien de la informática es bastante similar a estudiarlo por el bien de la lógica matemática, que sigue siendo una especialidad limitada tema.
Ese es el mejor ejemplo que se me ocurre cuando existe una idea creíble que contradice la sabiduría convencional en matemáticas, que se enseña a los matemáticos, y donde los matemáticos generalmente no saben casi nada al respecto. Sin embargo, comprenda que esto no suele considerarse un desacuerdo matemático, sino una cuestión de opinión, un juicio de valor. Se entiende el hecho de que uno puede agregar o eliminar axiomas e ir a hacer matemáticas basándose en el nuevo conjunto de axiomas, pero las personas no están de acuerdo sobre el valor de los mismos. También sospecharía que muchos matemáticos no estarían de acuerdo conmigo sobre si la idea de intentar no usar la ley del medio excluido o el axioma de elección, para hacer una matemática de mejor calidad, es creíble.
Es natural que tengamos desacuerdos sobre el valor de llevar a cabo diferentes proyectos matemáticos, y parece que las personas generalmente ven este desacuerdo como algo similar a otros desacuerdos sobre el valor de un programa de investigación. Sin embargo, lo que lo hace más profundo que la mayoría de los demás es la gran cantidad de inercia que se ha acumulado a favor del status quo. Cuando a uno se le ha enseñado la forma habitual de hacer las cosas, hay una cierta barrera para darle sentido a hacerlo de otra manera, debido al punto de vista de uno. Lleva cierto tiempo antes de que parezca antinatural.
Uno no propondría una reelaboración general de las matemáticas existentes para evitar ciertos axiomas si solo estuviera interesado en una pequeña recompensa. Por ejemplo, como algunos otros, creo que es una lástima que [math] \ pi [/ math] se haya usado para la relación de la circunferencia al diámetro de un círculo (en lugar del radio). Sin embargo, hasta donde sé, el cambio más drástico que alguien ha propuesto es que empecemos a usar [math] \ tau [/ math] para [math] 2 \ pi [/ math] en los documentos (que usa un segundo símbolo). Esta pequeña pérdida (que hemos usado un segundo símbolo) no es, hasta donde yo sé, considerada una razón suficiente para cambiar la forma en que se usa [math] \ pi [/ math]. ¡Es demasiado tarde para volver ahora! Pero este tipo de cambio en la terminología es en realidad mucho más fácil de hacer que en general encontrar el resultado constructivo más apropiado correspondiente a uno no constructivo. La no constructividad también es generalizada, tal vez tan dispersa en la literatura como la forma en que usamos [math] \ pi [/ math]. También se ha sugerido que la ruta más fácil en general es olvidarse de los resultados no constructivos que uno conoce y comenzar de nuevo más o menos desde cero.
Por lo tanto, tenemos este tipo de barrera, y uno tiene que tener una mejor motivación para querer escalarla que simplemente es algo que uno podría intentar hacer. (Por supuesto, si alguien simplemente tiene curiosidad acerca de cómo es, y está dispuesto a dedicarle tiempo, lo recomendaría como una novedad interesante. No es frecuente que uno encuentre un “enfoque alternativo” en una escala tan generalizada). La única forma en que realmente puedo ver que avanza es que una masa crítica de personas lo haya probado y le haya gustado, lo suficiente como para que parezca algún tipo de interés excéntrico o especializado.
[* Las personas tienden a identificar ZFC como el conjunto “habitual” de axiomas para las matemáticas, aunque en la práctica a los matemáticos no les importan mucho los detalles técnicos de cómo traducir el lenguaje matemático normal a la teoría de conjuntos. Si uno elimina el axioma de elección de ZFC, una vez obtiene solo ZF. Eliminar la ley del medio excluido de la lógica de ZF no es suficiente para hacerlo constructivo, porque la formulación habitual del axioma de reemplazo no es adecuada. Sin embargo, puede reformularse un poco para dejarlo con un sistema equivalente a ZFC. Luego, dejar caer la ley del medio excluido y el axioma de elección te deja con un sistema llamado IZF para “Zermelo Fraenkel intuicionista”. IZF tiene al menos algunos de los atributos de un sistema constructivo, como el hecho de que si demuestra que existe un número entero con cierta propiedad, también puede probar que algún número entero específico tiene esa propiedad. (Se pueden agregar grandes axiomas cardinales a ambos sistemas y, hasta donde yo sé, el paralelismo continúa sosteniéndose.) De lo que he leído sobre intuicionismo (filosofía matemática de Brouwer) dudo que cualquier intuicionista sea fanático de IZF.
Sin embargo, es una aproximación razonable a la verdad decir que lo que algunas personas quieren que suceda es que exploremos sistemáticamente qué resultados se pueden probar sin usar la ley del medio excluido o el axioma de elección, en lugar de usarlos automáticamente cuando sea necesario. parece conveniente.]